Вода из воздуха

Пар начнёт конденсироваться, когда его давление при изотермическом сжатии достигнет давления насыщенного пара; дальше давление пара постоянно, а масса воды равна убыли массы пара.

1.1) \(V_{\text{в}}=3{,}85\) л;  1.2) \(V_2=3{,}33\) л;  1.3) \(m\approx9{,}0\) мг;  1.4) \(N\approx2{,}2\cdot10^{4}\) сжатий;  1.5) \(A\approx0{,}21\) кДж;  1.7) \(A\approx0{,}34\) Дж;  1.8) \(\Theta\approx38\) кДж/кг.

1.1. Согласно определению относительной влажности начальное давление водяного пара в сосуде составляет \(p_1 = \varphi p_{\text{н}1}\), где \(p_{\text{н}1}\) — давление насыщенного водяного пара при комнатной температуре \(T_1\). Из графика на бланке можно определить: \(p_{\text{н}1} \approx 2{,}35\) кПа. Стоит отметить, что парциальное давление водяного пара в полном давлении воздуха в сосуде составляет лишь тысячные части, а поскольку, согласно числовым данным задачи, требуемая точность решения составляет две значащие цифры, в дальнейшем влиянием водяного пара на полное давление воздуха можно будет пренебречь.

При изотермическом сжатии сосуда давление газов в нем, в том числе и водяного пара, будет увеличиваться. По достижению давления \(p_{\text{н}1}\) последний начнет конденсироваться. Используя выражение для квазистационарного изотермического процесса с водяным паром, считая его идеальным газом, получим \(\varphi p_{\text{н}1} V_1 = p_{\text{н}1} V_{\text{в}}\), где \(V_{\text{в}}\) — объем газов в сосуде, при котором начнет появляться влага. Отсюда:

\[V_{\text{в}} = \varphi V_1 = 0{,}77 \cdot 5{,}0 \text{ л} = 3{,}85 \text{ л}\]

Требуемая точность вычислений, согласно данным в условии задачи, — две значащие цифры. Однако мы будем приводить три из них для того, чтобы полученные величины можно было использовать в дальнейших вычислениях, не опасаясь за нарастание погрешности округления. Повторимся, окончательный ответ получается путем округления всех полученных в решении величин до двух значащих цифр.

1.2. Максимальное давление газов в сосуде, оказываемое как Федей, так и атмосферой, составляет \(1{,}5 p_{\text{атм}}\). Пренебрегая парциальным давлением водяного пара и объемом образовавшейся жидкости, запишем уравнение для изотермического процесса с воздухом в сосуде: \(p_{\text{атм}} V_1 = 1{,}5 p_{\text{атм}} V_2\), откуда:

\[V_2 = V_1 / 1{,}5 = 5{,}0 \text{ л} / 1{,}5 = 3{,}33 \text{ л}\]

Сравнивая результаты пунктов 1.1 и 1.2 видим, что Федина установка действительно позволяет конденсировать водяной пар.

1.3 Так как давление водяного пара не может быть больше насыщенного, при уменьшении объема после значения \(V_{\text{в}}\) оно будет оставаться постоянным за счет уменьшения химического количества водяного пара в сосуде. Уменьшение произойдет на количество, соответствующее количеству образовавшейся воды. Химическое количество водяного пара в начальном и конечном состоянии можно определить из уравнения Менделеева-Клапейрона \(pV = \nu RT\), а массу воды найдем, зная ее молярную массу:

\[m_A = M(\nu_1 - \nu_2) = M \left( \frac{\varphi p_{\text{н}1} V_1}{RT_1} - \frac{p_{\text{н}1} V_2}{RT_1} \right) = \frac{M p_{\text{н}1}}{RT_1} (\varphi V_1 - V_2) = \frac{M p_{\text{н}1}}{RT_1} (V_{\text{в}} - V_2)\]

\[m_A = \frac{1{,}8 \cdot 10^{-2} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 2{,}35 \cdot 10^3 \text{ Па}}{8{,}31 \frac{\text{Дж}}{\text{К} \cdot \text{моль}} (273 + 20) \text{ К}} (3{,}85 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 3{,}33 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 9{,}03 \cdot 10^{-6} \text{ кг}\]

Таким образом, за одно сжатие Федя может получить всего \(9{,}03\) мг воды.

1.4. Стакан воды можно насобирать за \(N_A = m_c / m_A = 22148\) сжатий.

1.5 Несмотря на особенности изменения давления водяного пара при сжатии содержимого сосуда, основное количество работы, совершаемое Федей, определяется

давлением всего воздуха, так как последнее гораздо больше. Ввиду того, что давление газов в сосуде изменяется в ходе изотермического процесса, для грубой оценки совершенной работы будем использовать среднее арифметическое значение: \(p_{\text{ср}} = (p_{\text{атм}} + 1{,}5p_{\text{атм}})/2 = 1{,}25p_{\text{атм}}\). Тогда работа, совершенная Федей, равна работе газа, взятой со знаком «минус», и определяется выражением:

\[A_{\text{сж}} = -p_{\text{ср}}(V_2 - V_1) = 211 \text{ Дж}\]

1.6 От начала процесса до точки конденсации водяного пара диаграмма соответствует изотермическому процессу и представляет собой участок гиперболы. Далее процесс конденсации происходит при постоянном давлении (насыщенного пара). Обратное расширение после сбора влаги снова протекает изотермически по участку другой гиперболы из-за нового химического количества пара до первоначального объема. Далее при постоянном объеме и открытом отверстии химическое количество пара возвращается к первоначальному (возвращается исходная влажность воздуха) и диаграмма замыкается. Схематичное изображение процесса представлено на рисунке 1.

Рисунок 1 - Схематическая p-V диаграмма цикла

1.7 В ходе циклического процесса весь воздух в сосуде, пренебрегая парциальным давлением водяного пара, при сжатии и расширении проходит через одни те же состояния. Тогда работа, затраченное на сжатие и расширение всего воздуха по модулю совпадает и в сумме дает нуль. Следовательно, стоит присмотреться к работе, затраченной на процесс, произведенный непосредственно с водяным паром, даже если его парциальное давление незначительно (оно все же больше нуля). Последнюю можно рассчитать, как площадь, ограниченную построенной \(p\)-\(V\) диаграммой цикла.

Рисунок 2 - Построения на диаграмме для расчета работы

Для грубой оценки этой работы «спрямим» криволинейные участки (рис. 2). Для расчета площади достроим фигуру до треугольника \(CED\). Также нам понадобится давление в точке \(D\). Его можно найти, используя уравнение изотермы \(BC\): \(p_{\text{н}1}V_2 = p_{\text{с}}V_1\). Отсюда:

\(p_{\text{D}} = p_{\text{н1}} \cdot V_2 / V_1 = 1{,}57\) кПа. Работа Феди равна работе газа в ходе цикла, взятой со знаком минус. Учитывая тот факт, что цикл на диаграмме направлен против часовой стрелки, работа экспериментатора будет равна просто площади, ограниченной диаграммой \(ABCD\), которую можно рассчитать как разность площадей треугольников:

\[A_A = S_{ABCD} = S_{CED} - S_{BEA} = \frac{1}{2} (CE \cdot DE - BE \cdot AE)\]

\[A_A = \frac{1}{2} ((V_1 - V_2)(p_{\text{н1}} - p_{\text{D}}) - (V_1 - V_{\text{в}})(p_{\text{н1}} - \varphi p_{\text{н1}})) = 0{,}341 \text{ Дж}\]

1.8 Согласно определению введенной удельной работы конденсации получаем:

\[\theta_A = A_A / m_A = 37{,}7 \text{ кДж/кг}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.