Блюдце с водой

Пар диффундирует от поверхности воды в воздух. От какой разности концентраций пара зависит скорость испарения? Что остаётся одинаковым в обоих опытах?

\(t_2=t_1\dfrac{1-\varphi_1}{1-\varphi_2}=100\) мин.

Что происходит. Над водой пар насыщенный, а вдали от блюдца его концентрация определяется влажностью воздуха. Пар диффундирует от поверхности в воздух, и чем ближе влажность к \(100\,\%\), тем меньше перепад концентраций и тем медленнее испарение. Главная идея — скорость испарения пропорциональна перепаду концентраций пара, а масса воды в обоих опытах одна и та же.

Обозначения. \(n_{\text{н}}\) — концентрация насыщенного пара при температуре воды; \(n=\varphi n_{\text{н}}\) — концентрация пара в воздухе вдали от блюдца; \(m_0\) — масса налитой воды; \(J\) — масса воды, испаряющаяся за единицу времени. Температура воды и воздуха, блюдце и количество воды в обоих опытах одинаковы, поэтому \(n_{\text{н}}\) одно и то же.

1. Поток пара. У самой поверхности воды пар насыщенный: его концентрация \(n_{\text{н}}\). Вдали концентрация равна \(\varphi n_{\text{н}}\), и между ними в тонком слое воздуха концентрация падает от \(n_{\text{н}}\) до \(\varphi n_{\text{н}}\) (рисунок ниже). Поток диффузии пропорционален перепаду концентраций: \[J=\beta\,(n_{\text{н}}-n)=\beta\,n_{\text{н}}(1-\varphi),\] где коэффициент \(\beta\) зависит от площади блюдца, коэффициента диффузии и толщины слоя, но не от влажности воздуха. Обратите внимание: скорость испарения определяют не сама влажность \(\varphi\), а её «недобор» до \(100\,\%\), то есть \(1-\varphi\).

2. Время испарения. Слова «на открытом воздухе» означают, что пар уносится и влажность вдали остаётся постоянной, поэтому \(J\) не меняется со временем и вода убывает равномерно (график ниже). Вся масса \(m_0\) испарилась за время \(t\): \[m_0=J\,t,\qquad t=\frac{m_0}{\beta\,n_{\text{н}}(1-\varphi)} .\] Обратите внимание: в закрытой посуде влажность росла бы со временем до \(100\,\%\), испарение затухало бы, и такое рассуждение не работало бы.

3. Сравнение двух опытов. Величины \(m_0\), \(\beta\), \(n_{\text{н}}\) в обоих опытах одинаковы, поэтому \(t_1(1-\varphi_1)=t_2(1-\varphi_2)\). Отсюда \[t_2=t_1\,\frac{1-\varphi_1}{1-\varphi_2}=40\text{ мин}\cdot\frac{1-0{,}5}{1-0{,}8}=40\text{ мин}\cdot\frac{0{,}5}{0{,}2}=100\text{ мин}.\]

Проверка. Безразмерное отношение \((1-\varphi_1)/(1-\varphi_2)\) даёт время в тех же единицах, что и \(t_1\). Воздух стал влажнее, перепад концентраций уменьшился в \(2{,}5\) раза, и время увеличилось в \(2{,}5\) раза — знак изменения верный. При \(\varphi\to1\) получаем \(t\to\infty\): над водой уже насыщенный пар, испарения нет.

Ответ: \(t_2=t_1\dfrac{1-\varphi_1}{1-\varphi_2}=100\) мин.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.