Катушки, намотанные вместе

Обе катушки намотаны вместе, поэтому любой магнитный поток пронизывает их одинаково. Чему равно напряжение на катушке без сопротивления и как оно связано с этим потоком?

1) \(P=\dfrac{U^2}{R}\);  2) \(I_1(t)=\dfrac UR+\dfrac UL\,t\) при \(0<t<\tau\), в момент замыкания ток скачком становится \(U/R\);  3) \(Q=\dfrac{U^2\tau^2}{2L}\).

Что происходит. Витки второй катушки лежат рядом с витками первой, и магнитный поток пронизывает обе катушки одинаково. Сопротивление проводов равно нулю, поэтому напряжение на каждой катушке равно скорости изменения её потокосцепления. А потокосцепление у обеих катушек одно и то же. Идеальная батарейка поддерживает напряжение \(U\) на первой катушке — значит, такое же напряжение возникает на второй, на резисторе. Главная идея — общее потокосцепление \(\Psi\) обеих катушек.

Обозначения. \(\Psi=N\Phi\) — потокосцепление катушки (\(N\) — число витков, \(\Phi\) — поток через один виток); у двух катушек оно одинаково. Положительное направление токов \(I_1\) и \(I_2\) одно: вдоль намотки, сверху вниз по катушке (катушки намотаны в одну сторону). Взаимная индуктивность катушек \(M\): весь поток первой катушки пронизывает и вторую, число витков одно и то же, поэтому \(M=L\).

1. Закон Фарадея для катушки без сопротивления. Напряжение на концах катушки по направлению тока равно \(d\Psi/dt\). Для первой катушки, подключённой к идеальной батарейке: \(d\Psi/dt=U\). До замыкания ключа тока нет, потока нет, \(\Psi(0)=0\), значит, для \(0<t<\tau\) \[\Psi=Ut .\]

2. Мощность на резисторе. Вторая катушка замкнута на резистор, и напряжение на ней — такое же, как на первой: \(d\Psi/dt=U\). По закону Ома для резистора по модулю \(I_2R=U\), то есть ток во второй катушке постоянен с первого мгновения: \[|I_2|=\frac UR,\qquad P=I_2^2R=\frac{U^2}{R}.\] Направление тока следует из правила Ленца: индукционный ток противодействует росту потока, поэтому он направлен против \(I_1\): \(I_2=-U/R\). Обратите внимание: дифференциальные уравнения решать не пришлось, потому что потокосцепление у катушек общее. Мощность на резисторе такая, как если бы он был подключён к батарейке напрямую.

3. Ток батарейки. Потокосцепление первой катушки складывается из её собственного потока и потока, созданного второй катушкой: \(\Psi=LI_1+MI_2=L(I_1+I_2)\). Подставим \(\Psi=Ut\) и \(I_2=-U/R\): \[L\left(I_1-\frac UR\right)=Ut,\qquad I_1(t)=\frac UR+\frac UL\,t,\quad 0<t<\tau .\] Обратите внимание: в момент замыкания ток батарейки сразу становится \(U/R\), а не нулём. Общий поток в этот момент равен нулю, а ток второй катушки \(-U/R\), значит, ток первой обязан быть \(+U/R\): «растёт» не ток катушки, а суммарный поток. Дальше ток растёт линейно (график ниже). После размыкания ключа ток батарейки равен нулю.

4. Размыкание ключа в момент \(\tau\). К этому моменту \(\Psi(\tau)=U\tau\). После размыкания ток первой катушки обрывается, \(I_1=0\). Потокосцепление не может измениться скачком: тогда напряжение на второй катушке, равное \(d\Psi/dt\), стало бы бесконечным, а оно равно \(I_2R\) и конечно. Поэтому сразу после размыкания \(\Psi=U\tau\), но теперь создаёт его только ток второй катушки: \(\Psi=LI_2\). Отсюда \[I_2(\tau+0)=\frac{U\tau}{L}.\] Ток во второй катушке изменился скачком от \(-U/R\) до \(+U\tau/L\) (график ниже).

5. Тепло после размыкания. Теперь батарейка отключена, и остаётся контур из второй катушки и резистора: \(L\,dI_2/dt=-I_2R\), ток экспоненциально убывает с постоянной времени \(L/R\). Вся энергия магнитного поля, запасённая к моменту размыкания, выделится в резисторе. Энергия контура с током \(I_2=U\tau/L\) равна \(LI_2^2/2\): \[Q=\frac{LI_2^2}{2}=\frac{L}{2}\left(\frac{U\tau}{L}\right)^2=\frac{U^2\tau^2}{2L}.\]

Проверка. Размерность: \([U\tau]=\text{В}\cdot\text{с}=\text{Вб}\), а \(\text{Вб}^2/\text{Гн}=\text{Дж}\). При \(\tau\to0\) теплота стремится к нулю: потока не накопилось. Второй способ — интеграл по времени: \(Q=\int_0^\infty I_2^2R\,dt=R\left(\dfrac{U\tau}{L}\right)^2\dfrac L{2R}=\dfrac{U^2\tau^2}{2L}\). Третий — баланс энергии: работа батарейки \(A=\int_0^\tau UI_1\,dt=\dfrac{U^2\tau}{R}+\dfrac{U^2\tau^2}{2L}\); из неё \(\dfrac{U^2\tau}{R}\) выделилось в резисторе за время \(\tau\) (мощность \(U^2/R\), умноженная на время), остальное — энергия поля, она и выделяется после размыкания.

Ответ: \(P=\dfrac{U^2}{R}\); ток батарейки \(I_1(t)=\dfrac UR+\dfrac UL\,t\) при \(0<t<\tau\) (скачок от \(0\) до \(U/R\) в момент замыкания); \(Q=\dfrac{U^2\tau^2}{2L}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.