Индуктивность витков на рёбрах куба

Представьте виток с рисунка 2 как сумму квадратных контуров: сравните потоки поля через каждый из них и через соседние контуры той же площади.

Поскольку индуктивность витка, показанного на рисунке 1, равна \(L_1\), то при пропускании через такой виток тока \(I\) он будет создавать сам через себя поток магнитной индукции \[\Phi_1 = L_1 I.\] Рассмотрим теперь цепь, показанную на рисунке 2. С одной стороны, поскольку её индуктивность равна \(L_2\), поток вектора магнитной индукции её собственного тока через неё при пропускании через неё тока \(I\) равен \[\Phi_2 = L_2 I.\] С другой стороны, эту цепь можно заменить эквивалентной цепью (рис. 3), которая содержит два лишних провода, но создаёт абсолютно такое же магнитное поле, как и цепь, показанная на рисунке 2. Последнее связано с тем, что по этим двум проводам текут противоположно направленные токи, поэтому с точки зрения создания магнитного поля цепи, показанные на рисунках 2 и 3, одинаковы. А поток собственного магнитного поля такой цепи через неё саму можно найти как сумму потоков поля двух контуров, как на рисунке 1, через них самих, и сумму двух потоков поля таких контуров через расположенный рядом в перпендикулярной плоскости контур такой же площади: \[\Phi_2 = 2\Phi_1 + 2\Phi_{12},\] где \(\Phi_{12}\) — поток магнитного поля квадратного контура через квадратный контур такой же площади, расположенный рядом с ним. Отсюда и из формул для \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\) находим \[\Phi_{12} = \left(\frac{L_2}{2} - L_1\right) I.\] Рассмотрим теперь контур, показанный на рисунке 4. С одной стороны, при пропускании через него тока \(I\) поток собственного магнитного поля через него самого равен \[\Phi_3 = L_3 I,\] где \(L_3\) — индуктивность этого контура. С другой стороны, эту цепь можно заменить эквивалентной цепью, содержащей 6 дополнительных проводов, по которым текут противоположно направленные токи, и которая состоит из трёх квадратных контуров как на рисунке 1. Поток собственного магнитного поля через такую цепь равен трём потокам поля квадратного контура через сам себя и шести потокам поля квадратного контура через квадратный контур такой же площади, расположенный рядом с ним. То есть \[\Phi_3 = 3\Phi_1 + 6\Phi_{12}.\]

Поэтому, используя формулы для \(\Phi_1\), \(\Phi_{12}\) и \(\Phi_3\), получим \[L_3 I = 3L_1 I + 6\left(\frac{L_2}{2} - L_1\right) I.\] Отсюда \[L_3 = 3\,(L_2 - L_1).\]