Скорость как дуга окружности

Какое движение описывает такая зависимость \(v(x)\)? Выразите координату и скорость тела в точке \(c\) через \(v_0\) и \(x_0\).

Если зависимость скорости от координаты представляет собой окружность, то движение тела представляет собой гармонические колебания. Действительно, для гармонических колебаний потенциальная энергия тела является квадратичной функцией координат, поэтому закон сохранения энергии даёт \[\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = E.\] А графиком этой функции при определённом масштабе для координаты и скорости и является окружность. Поэтому зависимость координаты и скорости (при определённом выборе начала отсчёта времени) имеет вид \[x(t) = x_0\sin\omega t, \qquad v(t) = x_0\,\omega\cos\omega t = v_0\cos\omega t.\] Из второй формулы находим циклическую частоту колебаний \[\omega = \frac{v_0}{x_0},\] а, дифференцируя скорость по времени, получаем проекцию ускорения тела на ось \(x\): \[a(t) = -x_0\,\omega^2\sin\omega t = -\omega^2 x.\] Из этой формулы следует, что ускорение тела пропорционально его координате, причём коэффициент пропорциональности находится из данных графика. Поэтому для нахождения проекции ускорения нужно найти координату тела в этот момент. Очевидно, что когда координата и скорость тела соответствуют точке \(c\) данного на графике, то скорость тела составляет половину максимальной скорости, а координата — долю \(\sqrt{3}/2\) от максимальной координаты. Отсюда получаем \[a = -\omega^2\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,x_0 = -\left(\frac{v_0}{x_0}\right)^2\frac{\sqrt{3}}{2}\,x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}\,v_0^2\,x_0.\]