Два подвижных блока и два тела

Выразите связь ускорений тел через перемещения блоков и нитей, затем запишите второй закон Ньютона для каждого тела.

Силы, действующие на тела системы и не на блоки, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для тел в проекции на ось, направленную вертикально вниз, даёт \[2ma_1 = 2mg - T_1, \qquad ma_2 = T_3 + mg.\] Здесь \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тел массой \(2m\) и \(m\). Установим условия связи ускорений и сил натяжения. Поскольку левый блок невесом, \(T_1 = 2T_2\). Аналогично из условия невесомости второго блока \(T_2 = 2T_3\). Отсюда \[T_1 = 4T_3.\] Для установления связи ускорений рассмотрим малое перемещение тела \(2m\). Пусть оно переместилось вниз на некоторую величину \(\Delta x\). Тогда на эту же величину переместится вниз и левый блок. Для такого перемещения слева и справа от него потребуются два лишних кусочка верёвки длиной \(\Delta x\). А для этого правый блок должен опуститься вниз на величину \(2\Delta x\), для такого его перемещения слева и справа от него потребуются два кусочка верёвки длиной \(2\Delta x\). Следовательно, тело \(m\) переместится вниз на величину \(4\Delta x\). Это значит, что перемещение тела \(m\) в любые интервалы времени вчетверо больше перемещения тела \(2m\). Поэтому и его скорость в любой момент времени вчетверо больше скорости второго тела, а следовательно, такое же соотношение имеет место и для ускорений: \[a_2 = 4a_1.\] В результате система уравнений принимает вид \[2ma_1 = 2mg - 4T_3, \qquad 4ma_1 = T_3 + mg.\] Решая эту систему уравнений, получим \[a_1 = \frac{g}{3}, \qquad a_2 = \frac{4g}{3}.\] То, что ускорение второго тела оказалось больше ускорения свободного падения, подтверждает факт натянутости всех нитей — в противном случае тела падали бы с ускорением \(g\).