Канат на блоке

Найдите силы тяжести, действующие справа и слева от блока в начальный момент, и запишите закон сохранения механической энергии для начального и конечного состояний.

Обозначим \(m\) первоначальную массу каната длиной \(L\). В начальный момент справа на канат действует сила тяжести \(\frac{3}{2}mg\), а слева — \(\frac{1}{2}mg\). Тогда ускорение каната \[a = \frac{1}{m}\left(\frac{3}{2}mg - \frac{1}{2}mg\right) = \frac{g}{2}.\] Выберем уровень, на котором потенциальная энергия равна нулю. Начальная энергия (состояние 2 на рисунке, когда к канату подвесили второй канат): \[E_{\text{нач}} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{m}{2}g\cdot\frac{L}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{3m}{2}g\cdot\frac{3L}{2} = -\frac{5}{4}mgL .\] Конечная энергия (канат полностью соскользнул с блока, его масса \(2m\)): \[E_{\text{кон}} = \frac{2mv^2}{2} - \frac{1}{2}\cdot 2mg\cdot 2L = mv^2 - 2mgL .\] Из закона сохранения энергии \(E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}}\): \[v = \frac{\sqrt{3gL}}{2}.\]