Автомобили у перекрёстка

Удобно перейти в систему отсчёта одного из автомобилей: тогда второй движется с относительной скоростью. Какой угол образуют векторы \(\vec l\) и \(\vec v_{\text{отн}}\)?

Свяжем неподвижную систему отсчёта с дорогой, а движущуюся — с одним из автомобилей, например с первым. В неподвижной системе радиус-векторы автомобилей меняются по закону \[\vec r_1 = \vec r_{01} + \vec v_1 t, \qquad \vec r_2 = \vec r_{02} + \vec v_2 t.\] Вектор относительного расстояния между автомобилями равен \(\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1 = \vec l + \vec v_{\text{отн}}\,t\), где \(\vec l\) — вектор начального расстояния между автомобилями, \(\vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2\) — вектор относительной скорости.

Так как в начальный момент автомобили находятся на одинаковых расстояниях от перекрёстка и \(|\vec v_1| = |\vec v_2| = v\), то \(\vec v_{\text{отн}} \perp \vec l\) и \[v_{\text{отн}} = 2v\cos 30^\circ = v\sqrt{3}.\] Из геометрии рисунка \(|\Delta\vec r|^2 = l^2 + v_{\text{отн}}^2 t^2\). По условию \(|\Delta\vec r| = 2l\). Тогда \[t = \frac{l}{v} = 30~\text{с} = 0{,}5~\text{мин}.\]