КПД цикла с адиабатой

Удобно сначала найти температуру газа в точке, где цикл замыкается, через уравнение адиабаты и уравнение состояния. Какой участок цикла связан с подводом теплоты?

Состояния цикла обозначим: 1 — начало адиабатического расширения (\(T_1 = 4T\)), 2 — конец адиабаты (\(T_2 = T\)), 3 — конец изобарного сжатия; изохора 3–1 замыкает цикл.

КПД цикла \(\eta = \dfrac{A}{Q_{\text{пол}}}\), где работа за цикл \(A = A_{12} + A_{23} + A_{31}\): \[A_{12} = -\Delta U_{12} = -\frac{3}{2}\nu R(T - 4T) = \frac{9}{2}\nu RT, \qquad A_{23} = -p_2(V_2 - V_1) = -\nu R(T - T_3), \qquad A_{31} = 0 .\] Теплота подводится только на участке 3–1 (изохорный нагрев): \[Q_{\text{пол}} = Q_{31} = \Delta U_{31} = \frac{3}{2}\nu R(4T - T_3).\] Чтобы связать \(T_3\) с \(T\), запишем уравнение адиабаты и уравнение состояния: \[p_1V_1^{5/3} = p_2V_2^{5/3}, \qquad \frac{p_1V_1}{4T} = \frac{p_2V_2}{T} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{2/3} = 4, \qquad \frac{V_2}{V_1} = 8 .\] Закон Гей-Люссака для процесса 2–3 при постоянном давлении \(p_2\): \(\dfrac{V_1}{T_3} = \dfrac{V_2}{T}\), откуда \(T_3 = T\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{T}{8}\).

Подставляя \(T_3\): \[A = \nu R\left(\frac{7}{2}T + T_3\right) = \frac{29}{8}\nu RT, \qquad Q_{\text{пол}} = \frac{3}{2}\nu R\left(4T - \frac{T}{8}\right) = \frac{93}{16}\nu RT .\] Тогда \[\eta = \frac{A}{Q_{\text{пол}}} = \frac{58}{93} = 62{,}4\,\% .\]