Росатом, 2019/20, заключительный этап, 11 класс

Выразите массу и скорость ещё не упавших звеньев через длину уже упавшей части цепочки. Кинетическая энергия оставшейся части — функция этой длины; найдите её максимум.

\(t = \sqrt{\dfrac{l}{g}}\);  \(K_{\max} = \dfrac{1}{4}\,mgl\).

С одной стороны, чем дольше движется цепочка, тем больше её скорость. С другой — меньше масса ещё не упавших звеньев. Поэтому существует такое положение цепочки, в котором кинетическая энергия ещё не упавших звеньев максимальна. Найдём этот максимум.

Пусть на стол упал кусочек цепочки длиной \(x\). Тогда (поскольку цепочка движется с постоянным ускорением \(g\)) скорость ещё не упавших на стол звеньев будет равна \[v = \sqrt{2gx}.\] Масса не упавших к этому моменту звеньев равна \[m_1 = \frac{l - x}{l}\,m.\] Поэтому ещё не упавшие звенья цепочки имеют следующую кинетическую энергию \[K = \frac{m_1 v^2}{2} = \frac{mg\,(l - x)\,x}{l}.\] Вычисляя производную этой величины как функции \(x\) и приравнивая производную к нулю, найдём длину \(x\), отвечающую её максимуму: \[x = \frac{l}{2},\] а затем и время движения до этого состояния: \[t = \sqrt{\frac{l}{g}}.\] Максимальную кинетическую энергию ещё не упавших звеньев найдём, подставляя расстояние \(x = l/2\) в формулу для кинетической энергии: \[K_{\max} = \frac{1}{4}\,mgl.\]

Сравните температуру, которую дают уравнение состояния, с температурой кипения азота при атмосферном давлении. Что происходит с давлением в сосуде, пока в нём есть жидкий азот?

\(\Delta m = 25{,}8\) г.

Найдём температуру азота в сосуде по закону Клапейрона–Менделеева: \[T = \frac{pV}{\nu R} = 12\ \text{К} = -261\,^\circ\text{C}.\] Эта температура существенно ниже температуры кипения азота при атмосферном давлении, поэтому часть азота будет сконденсирована, а часть будет в виде газа. Следовательно, сосуд будет иметь температуру кипения азота \(t_к = -196\,^\circ\)C, а газообразный азот представляет собой насыщенный «азотный пар».

Так как откачивание азота происходит при постоянной температуре (температуре насыщенного «азотного пара» при атмосферном давлении), то «азотный пар» останется насыщенным, пока не испарится вся жидкая фракция азота. Поэтому, пока в сосуде остаётся жидкий азот, давление «паров азота» будет равно атмосферному. Следовательно, когда давление азота в сосуде упадёт вдвое, весь жидкий азот испарится и останется только газ. Применяя к нему закон Клапейрона–Менделеева, получим \[p_1 V = \nu_1 R T_к,\] где \(p_1 = 0{,}5\cdot 10^5\) Па, \(\nu_1\) — количество молей азота, оставшееся в сосуде, \(T_к = 77\) К — температура кипения азота (\(77\,\text{К} = -196\,^\circ\)C). Отсюда находим количество вещества азота в сосуде: \[\nu_1 = \frac{p_1 V}{R T_к} = \frac{pV}{2RT_к} = 0{,}078\ \text{моль},\] масса которого равна \(m_1 = 0{,}078\cdot 28\ \text{г} = 2{,}2\) г. Отсюда находим массу азота, который был откачан из сосуда: \[\Delta m = \left(\nu - \nu_1\right)\mu = \left(\nu - \frac{pV}{2RT_к}\right)\mu = 25{,}8\ \text{г}.\]

Какое движение описывает такая зависимость \(v(x)\)? Выразите координату и скорость тела в точке \(c\) через \(v_0\) и \(x_0\).

\(a_x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,v_0^2 x_0\).

Если зависимость скорости от координаты представляет собой окружность, то движение тела представляет собой гармонические колебания. Действительно, для гармонических колебаний потенциальная энергия тела является квадратичной функцией координат, поэтому закон сохранения энергии даёт \[\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = E.\] А графиком этой функции при определённом масштабе для координаты и скорости и является окружность. Поэтому зависимость координаты и скорости (при определённом выборе начала отсчёта времени) имеет вид \[x(t) = x_0\sin\omega t, \qquad v(t) = x_0\,\omega\cos\omega t = v_0\cos\omega t.\] Из второй формулы находим циклическую частоту колебаний \[\omega = \frac{v_0}{x_0},\] а, дифференцируя скорость по времени, получаем проекцию ускорения тела на ось \(x\): \[a(t) = -x_0\,\omega^2\sin\omega t = -\omega^2 x.\] Из этой формулы следует, что ускорение тела пропорционально его координате, причём коэффициент пропорциональности находится из данных графика. Поэтому для нахождения проекции ускорения нужно найти координату тела в этот момент. Очевидно, что когда координата и скорость тела соответствуют точке \(c\) данного на графике, то скорость тела составляет половину максимальной скорости, а координата — долю \(\sqrt{3}/2\) от максимальной координаты. Отсюда получаем \[a = -\omega^2\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,x_0 = -\left(\frac{v_0}{x_0}\right)^2\frac{\sqrt{3}}{2}\,x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}\,v_0^2\,x_0.\]

Выразите связь ускорений тел через перемещения блоков и нитей, затем запишите второй закон Ньютона для каждого тела.

\(a_{2m} = \dfrac{g}{3}\);  \(a_m = \dfrac{4g}{3}\).

Силы, действующие на тела системы и не на блоки, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для тел в проекции на ось, направленную вертикально вниз, даёт \[2ma_1 = 2mg - T_1, \qquad ma_2 = T_3 + mg.\] Здесь \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тел массой \(2m\) и \(m\). Установим условия связи ускорений и сил натяжения. Поскольку левый блок невесом, \(T_1 = 2T_2\). Аналогично из условия невесомости второго блока \(T_2 = 2T_3\). Отсюда \[T_1 = 4T_3.\] Для установления связи ускорений рассмотрим малое перемещение тела \(2m\). Пусть оно переместилось вниз на некоторую величину \(\Delta x\). Тогда на эту же величину переместится вниз и левый блок. Для такого перемещения слева и справа от него потребуются два лишних кусочка верёвки длиной \(\Delta x\). А для этого правый блок должен опуститься вниз на величину \(2\Delta x\), для такого его перемещения слева и справа от него потребуются два кусочка верёвки длиной \(2\Delta x\). Следовательно, тело \(m\) переместится вниз на величину \(4\Delta x\). Это значит, что перемещение тела \(m\) в любые интервалы времени вчетверо больше перемещения тела \(2m\). Поэтому и его скорость в любой момент времени вчетверо больше скорости второго тела, а следовательно, такое же соотношение имеет место и для ускорений: \[a_2 = 4a_1.\] В результате система уравнений принимает вид \[2ma_1 = 2mg - 4T_3, \qquad 4ma_1 = T_3 + mg.\] Решая эту систему уравнений, получим \[a_1 = \frac{g}{3}, \qquad a_2 = \frac{4g}{3}.\] То, что ускорение второго тела оказалось больше ускорения свободного падения, подтверждает факт натянутости всех нитей — в противном случае тела падали бы с ускорением \(g\).

Представьте виток с рисунка 2 как сумму квадратных контуров: сравните потоки поля через каждый из них и через соседние контуры той же площади.

\(L_3 = 3\,(L_2 - L_1)\).

Поскольку индуктивность витка, показанного на рисунке 1, равна \(L_1\), то при пропускании через такой виток тока \(I\) он будет создавать сам через себя поток магнитной индукции \[\Phi_1 = L_1 I.\] Рассмотрим теперь цепь, показанную на рисунке 2. С одной стороны, поскольку её индуктивность равна \(L_2\), поток вектора магнитной индукции её собственного тока через неё при пропускании через неё тока \(I\) равен \[\Phi_2 = L_2 I.\] С другой стороны, эту цепь можно заменить эквивалентной цепью (рис. 3), которая содержит два лишних провода, но создаёт абсолютно такое же магнитное поле, как и цепь, показанная на рисунке 2. Последнее связано с тем, что по этим двум проводам текут противоположно направленные токи, поэтому с точки зрения создания магнитного поля цепи, показанные на рисунках 2 и 3, одинаковы. А поток собственного магнитного поля такой цепи через неё саму можно найти как сумму потоков поля двух контуров, как на рисунке 1, через них самих, и сумму двух потоков поля таких контуров через расположенный рядом в перпендикулярной плоскости контур такой же площади: \[\Phi_2 = 2\Phi_1 + 2\Phi_{12},\] где \(\Phi_{12}\) — поток магнитного поля квадратного контура через квадратный контур такой же площади, расположенный рядом с ним. Отсюда и из формул для \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\) находим \[\Phi_{12} = \left(\frac{L_2}{2} - L_1\right) I.\] Рассмотрим теперь контур, показанный на рисунке 4. С одной стороны, при пропускании через него тока \(I\) поток собственного магнитного поля через него самого равен \[\Phi_3 = L_3 I,\] где \(L_3\) — индуктивность этого контура. С другой стороны, эту цепь можно заменить эквивалентной цепью, содержащей 6 дополнительных проводов, по которым текут противоположно направленные токи, и которая состоит из трёх квадратных контуров как на рисунке 1. Поток собственного магнитного поля через такую цепь равен трём потокам поля квадратного контура через сам себя и шести потокам поля квадратного контура через квадратный контур такой же площади, расположенный рядом с ним. То есть \[\Phi_3 = 3\Phi_1 + 6\Phi_{12}.\]

Поэтому, используя формулы для \(\Phi_1\), \(\Phi_{12}\) и \(\Phi_3\), получим \[L_3 I = 3L_1 I + 6\left(\frac{L_2}{2} - L_1\right) I.\] Отсюда \[L_3 = 3\,(L_2 - L_1).\]