Падающая цепочка

Выразите массу и скорость ещё не упавших звеньев через длину уже упавшей части цепочки. Кинетическая энергия оставшейся части — функция этой длины; найдите её максимум.

С одной стороны, чем дольше движется цепочка, тем больше её скорость. С другой — меньше масса ещё не упавших звеньев. Поэтому существует такое положение цепочки, в котором кинетическая энергия ещё не упавших звеньев максимальна. Найдём этот максимум.

Пусть на стол упал кусочек цепочки длиной \(x\). Тогда (поскольку цепочка движется с постоянным ускорением \(g\)) скорость ещё не упавших на стол звеньев будет равна \[v = \sqrt{2gx}.\] Масса не упавших к этому моменту звеньев равна \[m_1 = \frac{l - x}{l}\,m.\] Поэтому ещё не упавшие звенья цепочки имеют следующую кинетическую энергию \[K = \frac{m_1 v^2}{2} = \frac{mg\,(l - x)\,x}{l}.\] Вычисляя производную этой величины как функции \(x\) и приравнивая производную к нулю, найдём длину \(x\), отвечающую её максимуму: \[x = \frac{l}{2},\] а затем и время движения до этого состояния: \[t = \sqrt{\frac{l}{g}}.\] Максимальную кинетическую энергию ещё не упавших звеньев найдём, подставляя расстояние \(x = l/2\) в формулу для кинетической энергии: \[K_{\max} = \frac{1}{4}\,mgl.\]