Вертикальное движение, свободное падение

Наблюдая за кокосом, свободно падающим с вершины пальмы, турист обнаружил, что пройденное им расстояние \(s\) зависит от времени падения \(t\) как \(s = \dfrac{gt^2}{2}\), где \(g = 10\text{ м/с}^2\). Турист также определил, что средняя скорость кокоса за время падения составляет \(v_{\text{ср}} = 5\text{ м/с}\). Определите высоту пальмы \(h\).

Камень падает без начальной скорости. В первую секунду он пролетает 5 м, а в каждую последующую — на 10 м больше, чем в предыдущую. С какой высоты падал камень, если он летел 5 с? Ответ дайте в метрах.

Тело, брошенное вертикально вверх, через секунду оказалось на высоте 20 м. Ускорение свободного падения составляет \(10\) м/с\(^2\).

1. Какова начальная скорость тела? Ответ представьте в м/с и округлите до целых.

2. Сколько времени продлился полёт тела? Ответ представьте в секундах и округлите до десятых.

3. Какова максимальная высота полёта? Ответ представьте в метрах и округлите до целых.

В спортивном зале мяч бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с (условно с поверхности пола). Определите время возврата мяча в начальную точку броска, если «высота потолка» равна 10 метрам. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Ответ выразите в секундах, округлите до сотых.

Из окна десятого этажа многоквартирного дома бросили небольшой шарик со скоростью \(v = 6{,}5\) м/c, так что величина перемещения шарика за первую секунду движения составила 6,5 м. Считая ускорение свободного падения равным 10 м/с\(^2\), а также пренебрегая силой сопротивления воздуха, ответьте на следующие вопросы.

1. (2 балла) На какую наибольшую высоту поднимается шарик относительно начальной точки в процессе движения? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до целого.

2. (3 балла) Чему равна абсолютная величина перемещения шарика за вторую секунду движения, если известно, что за это время шарик не достигает поверхности земли? Ответ выразите в метрах, округлите до целого

Находясь на краю глубокого обрыва, турист бросает камень вертикально вверх. При последующем движении вниз камень проходит точку бросания и падает в обрыв. Известно, что за промежуток времени \(t = 1\) с, отсчитываемый от момента броска, камень прошел путь \(S = 2{,}9\) м. Определите начальную скорость камня, сообщённую ему при броске. Ускорение свободного падения считать равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ракета взлетает с поверхности Земли вертикально вверх с ускорением \(1{,}25\text{ м/с}^2\). Через \(8\text{ с}\) двигатель ракеты выключается. Постройте график зависимости проекции скорости ракеты \(v_y\) на направленную вертикально вверх ось \(y\) от времени \(t\). Отметьте на графике момент падения ракеты на Землю. Ускорение свободного падения считайте равным \(10\text{ м/с}^2\).

Тело бросили с поверхности земли вертикально вверх. Спустя 2 секунды после броска тело ещё двигалось вверх, а спустя 6 секунд после броска — уже находилось на земле. На какой высоте могло находиться тело в верхней точке траектории? Столкновение тела с землёй считайте абсолютно неупругим, ускорение свободного падения 10 м/с\(^2\), сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Металлический шарик после выстрела из игрушечной пушки движется вертикально вверх в поле тяжести Земли. Начальная скорость шарика равна 28 м/с. Считая, что ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\), найдите, через какое время после начала движения мгновенная скорость шарика станет равна средней путевой скорости. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Средняя путевая скорость (по определению) есть отношение пройденного пути к времени его прохождения. Ответ выразите в секундах, округлите до целого.

Небольшое тело движется по вертикали в поле тяжести Земли из начальной точки, расположенной на достаточно большой высоте над поверхностью Земли. Начальная скорость тела не равна нулю. К моменту, когда путь, пройденный телом после начала движения, становится равен 15 м, абсолютная величина скорости тела увеличивается в 2 раза. Через какое время после этого абсолютная величина скорости тела возрастёт ещё в 2 раза? Ответы на вопросы задачи дайте в секундах, округлите до десятых. Рассмотрите два случая.

1. (2 балла) Начальная скорость тела направлена вниз.

2. (3 балла) Начальная скорость направлена вверх.

Небольшое тело движется по вертикали в поле тяжести Земли из начальной точки, расположенной на достаточно большой высоте над поверхностью Земли. Начальная скорость тела не равна нулю. К моменту, когда путь, пройденный телом после начала движения, становится равен 15 м, абсолютная величина скорости тела увеличивается в 2 раза. Через какое время после этого абсолютная величина скорости тела возрастёт ещё в 2 раза? Ответы на вопросы задачи дайте в секундах, округлите до десятых. Рассмотрите два случая.

1. (1 балл) Начальная скорость тела направлена вниз.

2. (2 балла) Начальная скорость направлена вверх.

Маленький металлический шарик (далее мы называем его первым шариком) вылетает из игрушечной пушки вертикально вверх со скоростью \(v_0 = 20\) м/с в нулевой момент времени. Спустя время \(\tau = 1\) с в том же направлении с такой же начальной скоростью вылетает второй шарик, идентичный первому. Считается, что шарики могут двигаться только по вертикали. При встрече шарики испытывают абсолютно упругое столкновение, в результате которого обмениваются скоростями. Также считается, что после возвращения шарика в начальную точку его движение прекращается. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

1. (2 балла) Через какое время после начала движения второго шарика произойдёт столкновение шариков? Дайте ответ в секундах, округлите до десятых.

2. (2 балла) Чему равна максимальная высота подъёма первого шарика? Дайте ответ в метрах, округлите до целого.

3. (2 балла) Через какое время после начала движения второго шарика он вернётся в начальную точку? Дайте ответ в секундах, округлите до десятых.

Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли, через промежуток времени \(\tau = 1\) с после начала движения оказался выше забора высотой \(h = 4\) м, а еще через этот же промежуток времени \(\tau = 1\) с – ниже этого забора. Какой могла быть начальная скорость камня? В какой момент времени от начала движения могла быть достигнута максимальная высота подъема камня? До какой максимальной высоты мог подняться камень? Ускорение свободного падения считайте равным \(g = 10\) м/с\(^2\), сопротивление воздуха не учитывайте.

На рис. 3 вы видите фрагмент амплитудно-временной характеристики звука ударов футбольного мяча о пол, записанного с помощью микрофона и программы Audacity при достаточно большой частоте дискретизации. Цифры над делениями горизонтальной шкалы — время в секундах. Мяч был отпущен без начальной скорости с некоторой высоты. Первый пик соответствует первому столкновению мяча с полом. Определите приближённо:

1. с какой высоты был отпущен мяч;

2. сколько времени мяч находится в воздухе между пятым и шестым ударами;

3. сколько всего времени прыгал мяч.

Специальные пиротехнические ракеты вылетают каждую секунду из одной точки на поверхности земли и далее движутся вдоль вертикальной прямой. В течение секунды после старта ускорение каждой ракеты направлено вверх и равно \(2g\), где \(g = 10\text{ м/с}^2\) — ускорение свободного падения. Через секунду после старта пороховой заряд, обеспечивавший ускорение ракеты сгорает, и она продолжает двигаться, светясь, с ускорением \(g\), направленным вертикально вниз. Через 4,9 с после начала движения ракета сгорает полностью. Сколько ракет (\(N\)) встретит каждая ракета на своём пути, пока не сгорит? Считайте, что в силу незначительных отклонений от вертикали ракеты не сталкиваются друг с другом при встрече. В ответе к задаче укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

Тело бросили вертикально вверх с поверхности земли. На графике, представленном ниже, изображена зависимость расстояния \(S\) между этим телом и неподвижным наблюдателем (располагающимся на некоторой высоте над землёй) от времени. Нулевой момент времени соответствует началу движения тела. Величина \(t\), задающая масштаб по оси времени, неизвестна. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) м/с\(^2\).

1. На какой высоте \(H\) над землёй находится наблюдатель?

   

2. Определите значение величины \(t\) (обозначенной на графике). Ответ дайте в секундах, округлите до десятых.

С ветки дерева, расположенной на высоте \(H = 5\) м, с интервалом \(\tau = 0{,}5\) с отрываются капли воды и падают на тротуар. С какой минимальной скоростью \(V\) должен идти худой пешеход, чтобы, не замочившись, проскочить опасное место? Считать, что рост пешехода \(h = 180\) см, диаметр его шляпы \(D = 30\) см, ширина шага \(L = 60\) см, ботинки в крайних положениях по горизонтали выступают из-под шляпы симметричным образом, ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь, ботинки считать точечными!

Воздушный шар, к которому был привязан предмет, поднимался с земли вертикально вверх с постоянным ускорением без начальной скорости. Через 2 с от начала движения предмет оторвался от шара. Спустя еще 1 с предмет приземлился. Во сколько раз ускорение шара меньше ускорения свободного падения? Сопротивление воздуха не учитывать.

В арке около одной из стен стоит мальчик и бросает мяч из точки A, находящейся на высоте \(h = 170\) см над землёй. Начальная скорость мяча \(v_0 = 15\) м/с. Мяч вернулся в точку бросания спустя \(t = 3\) с, описав траекторию, показанную на рисунке. Чему равно расстояние \(D\) между стенами арки? Все соударения мгновенные и абсолютно упругие, сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\).

На легкой короткой нити к ветке сосны подвешена гирька массой \(m = 1\) кг. К ней привязана другая легкая нить с длиной в недеформированном состоянии \(L = 1\) м и жесткостью \(k = 1\) кН/м, на конце которой висит еще одна гирька массой \(m = 1\) кг. Система находилась в равновесии до момента, когда верхнюю нить перебил дятел. Гирьки упали на землю одновременно. Каково расстояние \(H\) от ветки до земли? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

В вертикальной плоскости расположена прямоугольная рамка с жёсткими стенками. Точки \(A\) и \(B\) находятся внутри рамки так, как показано на рисунке: все расстояния до стенок, а также взаимное расположение точек следует принимать согласно масштабу рисунка. Перед началом опыта всю конструкцию (рамку вместе с точками \(A\) и \(B\)) можно повернуть в пределах одной вертикальной плоскости. После поворота рамки маленькую гладкую шайбу помещают в точку \(A\) и отпускают без начальной скорости.

Найдите все возможные ориентации рамки, при которых шайба после одного удара попадёт из точки \(A\) в точку \(B\), и для каждой из них определите угол между отрезком \(AB\) и ускорением свободного падения.

Отражение шайбы от стенок рамки считайте абсолютно упругим: угол падения равен углу отражения, скорость не изменяется по модулю.

Геодезическая ракета стартует по вертикали и движется с ускорением \(a = 50\) м/с\(^2\). Через некоторое время происходит отсечка (прекращение работы) двигателя. Звук на земле в точке старта перестал быть слышен спустя время \(\tau = 1\) мин \(55{,}5\) с после старта. Какую скорость \(V\) приобрел установленный на ракете исследовательский зонд к моменту отключения двигателя? На какую максимальную высоту \(H\) он поднимется? Скорость звука принять равной \(c = 330\) м/с, ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха и изменением величины \(g\) с высотой пренебречь.