Ускорение зависит от скорости

Представьте время как сумму малых интервалов \(\Delta t_n = \Delta v_n / a_n\). Сумма слева примет вид интеграла, который удобно посчитать как площадь под графиком.

При прямолинейном движении мгновенное ускорение тела определяется как \[a = \frac{v_2 - v_1}{\Delta t} = \frac{\Delta v}{\Delta t},\] где \(v_1\) и \(v_2\) — скорость тела в начале и в конце малого интервала времени \(\Delta t\). Тогда изменение скорости тела за малый интервал времени равно \(\Delta v = a\,\Delta t\). Если просуммировать изменения скорости тела за все малые интервалы времени, на которые можно разбить полное время движения, получится полное изменение скорости, которое из-за равенства нулю начальной скорости равно конечной скорости тела: \[\sum_n \frac{\Delta v_n}{a_n} = \sum_n \Delta t_n,\] где \(a_n\) — ускорение тела внутри малого интервала времени \(\Delta t_n\). Подставляя в эту формулу зависимость ускорения от скорости, найдём \[\frac{1}{a_0 v_0}\sum_n \Delta v_n\,(v_n + v_0) = \sum_n \Delta t_n,\] где \(v_n\) — значение скорости внутри \(n\)-го интервала времени \(\Delta t_n\). Сумма в правой части даёт время \(\tau\), в тот момент, когда скорость станет равна \(2v_0\). Сумма в левой части имеет графический смысл площади под графиком зависимости \(f(v) = v + v_0\) (ср. с вычислением работы переменной силы). Вычисляя эту площадь (см. рисунок), получим \[\tau = \frac{4v_0}{a_0}.\]