Стрелки часов

Перейдите в систему отсчёта, где минутная стрелка неподвижна. Скорость конца часовой стрелки в ней постоянна по величине, и максимум скорости удаления достигается, когда её вектор направлен вдоль прямой, соединяющей концы стрелок.

Скорость удаления конца часовой стрелки от конца минутной определяется тем, как растёт расстояние между концами стрелок, и потому не зависит от системы отсчёта. Перейдём в систему отсчёта, в которой минутная стрелка не вращается. В ней часовая стрелка вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью \(\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}\), где \(\omega_{\text{мин}}\) и \(\omega_{\text{час}}\) — угловые скорости минутной и часовой стрелок. Следовательно, её конец движется с постоянной по величине скоростью.

Поэтому скорость удаления будет максимальной тогда, когда вектор скорости конца часовой стрелки направлен вдоль прямой, соединяющей концы стрелок (см. рисунок). В этот момент прямая, проведённая из конца минутной стрелки к концу часовой, является касательной к окружности, по которой движется конец часовой стрелки. Поскольку длина часовой стрелки вдвое меньше длины минутной, угол между стрелками \(\alpha = 60^\circ\). Этот угол составляет шестую часть полного угла, поэтому стрелка пройдёт его за шестую часть времени, за которое она совершает полный оборот вокруг минутной стрелки: \[T = \frac{2\pi}{\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}} = \frac{60\cdot 12}{11}\ \text{мин} \approx 65{,}5\ \text{мин}.\]

Поэтому скорость удаления будет максимальной через шестую часть этого времени: \[\Delta t = \frac{2\pi/6}{\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}} = \frac{60\cdot 12}{11\cdot 6}\ \text{мин} \approx 10{,}9\ \text{мин}.\]