Росатом, 2017/18, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите массу кубика двумя способами: как сумму масс обеих частей и через массу первой части, которая составляет четверть от общей.

Ответ

\(\rho_2 = \dfrac{3}{2}\,\rho_1\).

Решение

Пусть объём всего кубика \(V\), а плотность его второй части — \(\rho_2\). Тогда из условия имеем \[\rho_1\frac{V}{3} + \rho_2\frac{2V}{3} = 4\rho_1\frac{V}{3}.\] Решая это уравнение относительно \(\rho_2\), получаем \[\rho_2 = \frac{3}{2}\,\rho_1.\]

Подсказка

Сравнивают не силы тяжести макетов, а их моменты относительно опоры. Посчитайте избыточные моменты для каждого плеча отдельно.

Ответ

Перевесит число 328; на конец левого колена (на расстояние \(10a\) от опоры) нужно положить груз массой \(m_0 = m\).

Решение

Массы макетов чисел 238 и 328 равны, но на коромысловых весах сравниваются не силы тяжести, действующие на макеты, а моменты сил тяжести относительно опоры. Посчитаем моменты сил, действующих на правое и левое плечо коромысла.

«Двойка» (слева) и «восьмёрка» (справа). У «восьмёрки» есть два лишних стержня, расположенных на расстояниях \(6a\) и \(7a\) от опоры. Значит, избыточный момент, действующий на правое плечо, \[\Delta M_{\text{пр}} = 6amg + 7amg = 13amg.\] «Тройка» (слева) и «двойка» (справа). У «двойки» есть лишний стержень на расстоянии \(5a\) от опоры и не хватает стержня на расстоянии \(4a\) от опоры. Следовательно, избыточный момент, действующий на правое плечо коромысла весов, \[\Delta M_{\text{пр}} = 13amg + 5amg - 4amg = 14amg.\] «Восьмёрка» (слева) и «тройка» (справа). У «восьмёрки» есть 2 лишних стержня на расстоянии \(2a\) от опоры. Поэтому для избыточного момента, действующего на правое плечо, имеем \[\Delta M_{\text{пр}} = 14amg - 4amg = 10amg.\] Следовательно, число 328 справа от опоры перевесит. Чтобы восстановить равновесие, груз нужно положить на самый конец левого колена коромысла (плечо \(10a\)). Для его массы \(m_0\) имеем \[10am_0g = 10amg,\] откуда \(m_0 = m\).

Подсказка

Калориметр тоже нагревается, поэтому его теплоёмкость нужно учитывать. Найдите сначала отношение теплоёмкости калориметра к теплоёмкости половины объёма воды из первого опыта.

Ответ

\(t_x = \dfrac{7t_1 + 8t_2}{15} \approx 25{,}3\,^\circ\text{C}\).

Решение

Поскольку температура жидкости, получившейся при смешивании равных количеств горячей и холодной жидкости, не равна среднему арифметическому температур, а потери тепла не учитываются, нужно учитывать нагревание калориметра. Пусть теплоёмкость калориметра равна \(C\), а \(C_1\) — теплоёмкость воды, занимающей половину калориметра. Тогда уравнение теплового баланса для первого смешивания воды даёт \[(C + C_1)(t_0 - t_1) = C_1(t_2 - t_0).\] Отсюда находим отношение теплоёмкостей калориметра и половинного количества воды: \[\frac{C}{C_1} = \frac{t_2 + t_1 - 2t_0}{t_0 - t_1} = \frac{1}{2}. \qquad (*)\] Во втором опыте в калориметре \(\tfrac{1}{3}\) объёма, то есть \(\tfrac{2}{3}C_1\) воды, а доливаем горячую воду, которая заполняет оставшиеся \(\tfrac{2}{3}\) объёма, то есть \(\tfrac{4}{3}C_1\). Уравнение теплового баланса: \[\left(C + \frac{2}{3}C_1\right)(t_x - t_1) = \frac{4}{3}C_1(t_2 - t_x),\] где \(t_x\) — искомая температура смеси. Отсюда с учётом \((*)\) получаем \[t_x = \frac{7t_1 + 8t_2}{15} \approx 25{,}3\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, где минутная стрелка неподвижна. Скорость конца часовой стрелки в ней постоянна по величине, и максимум скорости удаления достигается, когда её вектор направлен вдоль прямой, соединяющей концы стрелок.

Ответ

Примерно через \(10{,}9\) мин после совпадения стрелок.

Решение

Скорость удаления конца часовой стрелки от конца минутной определяется тем, как растёт расстояние между концами стрелок, и потому не зависит от системы отсчёта. Перейдём в систему отсчёта, в которой минутная стрелка не вращается. В ней часовая стрелка вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью \(\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}\), где \(\omega_{\text{мин}}\) и \(\omega_{\text{час}}\) — угловые скорости минутной и часовой стрелок. Следовательно, её конец движется с постоянной по величине скоростью.

Поэтому скорость удаления будет максимальной тогда, когда вектор скорости конца часовой стрелки направлен вдоль прямой, соединяющей концы стрелок (см. рисунок). В этот момент прямая, проведённая из конца минутной стрелки к концу часовой, является касательной к окружности, по которой движется конец часовой стрелки. Поскольку длина часовой стрелки вдвое меньше длины минутной, угол между стрелками \(\alpha = 60^\circ\). Этот угол составляет шестую часть полного угла, поэтому стрелка пройдёт его за шестую часть времени, за которое она совершает полный оборот вокруг минутной стрелки: \[T = \frac{2\pi}{\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}} = \frac{60\cdot 12}{11}\ \text{мин} \approx 65{,}5\ \text{мин}.\]

Поэтому скорость удаления будет максимальной через шестую часть этого времени: \[\Delta t = \frac{2\pi/6}{\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}} = \frac{60\cdot 12}{11\cdot 6}\ \text{мин} \approx 10{,}9\ \text{мин}.\]

Подсказка

Представьте время как сумму малых интервалов \(\Delta t_n = \Delta v_n / a_n\). Сумма слева примет вид интеграла, который удобно посчитать как площадь под графиком.

Ответ

\(\tau = \dfrac{4v_0}{a_0}\).

Решение

При прямолинейном движении мгновенное ускорение тела определяется как \[a = \frac{v_2 - v_1}{\Delta t} = \frac{\Delta v}{\Delta t},\] где \(v_1\) и \(v_2\) — скорость тела в начале и в конце малого интервала времени \(\Delta t\). Тогда изменение скорости тела за малый интервал времени равно \(\Delta v = a\,\Delta t\). Если просуммировать изменения скорости тела за все малые интервалы времени, на которые можно разбить полное время движения, получится полное изменение скорости, которое из-за равенства нулю начальной скорости равно конечной скорости тела: \[\sum_n \frac{\Delta v_n}{a_n} = \sum_n \Delta t_n,\] где \(a_n\) — ускорение тела внутри малого интервала времени \(\Delta t_n\). Подставляя в эту формулу зависимость ускорения от скорости, найдём \[\frac{1}{a_0 v_0}\sum_n \Delta v_n\,(v_n + v_0) = \sum_n \Delta t_n,\] где \(v_n\) — значение скорости внутри \(n\)-го интервала времени \(\Delta t_n\). Сумма в правой части даёт время \(\tau\), в тот момент, когда скорость станет равна \(2v_0\). Сумма в левой части имеет графический смысл площади под графиком зависимости \(f(v) = v + v_0\) (ср. с вычислением работы переменной силы). Вычисляя эту площадь (см. рисунок), получим \[\tau = \frac{4v_0}{a_0}.\]