Скорость обратно пропорциональна координате

Время движения на малом участке равно \(\Delta x/v\). Построй график \(1/v\) от \(x\): площадь под ним численно равна времени.

\(t=\dfrac{x_2^2-x_1^2}{2b}\).

10-4. Данный вид движения не является ни равномерным, ни равноускоренным. Прямой ход решения содержит операцию интегрирования -материал, прием недоступный десятиклассникам:

\[t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t = \left\{ \begin{array} { l } { { d t = \displaystyle \frac { d x } { \upsilon } = \displaystyle \frac { x d x } { b } } } \\ { { \displaystyle \upsilon = \displaystyle \frac { b } { x } } } \end{array} \right\} = \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } \displaystyle \frac { x d x } { b } = \displaystyle \frac { 1 } { b } \left. \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right\vert _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } = \displaystyle \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 b } . \qquad\tag{1}\]

Для решения задачи без применения интегрирования, необходимо построить график зависимости величины, обратной скорости, от расстояния, т.е. зависимость \(\frac{1}{v}(x)\):

\[\frac{1}{v}(x) = \frac{x}{b}\]

Рассматривая отмеченный на рисунке элементарный столбик, видим, что его площадь численно равна времени, которое требуется, чтобы преодолеть участок пути \(\Delta x_i\)

\[\Delta t_i = \Delta x_i \cdot \frac{1}{v_i} = \Delta x_i \cdot \left( \frac{x_i}{b} \right);\]

Таким образом, площадь трапеции, затонированной на рисунке, и даст нам искомое время движения тела:

\[t = \sum_i \Delta t_i = \sum \Delta S_i = (x_2 - x_1) \frac{1}{2} \left( \frac{x_2 + x_1}{b} \right) = \frac{x_2^2 - x_1^2}{2b}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.