Перестановка зарядов в проводящих сферах

В толще проводящей стенки поля нет, значит, энергия поля заряда уменьшается на энергию, «съеденную» этой стенкой. Сравни «съеденную» энергию до и после перестановки.

\(A=-\dfrac{Q^2}{60\pi\varepsilon_0R}\) (энергия системы при перестановке уменьшается).

10-3. Поле точечного заряда помещенного в центре проводящей сферы некоторой толщины, отличается от поля точечного заряда только в областях нахождения проводника: там оно «съедено» (вспомните принцип электростатической защиты). Таким образом, энергия полей в двух случаях отличаются только на энергию указанной области.

В условии задачи даны достаточно тонкие сферы – поэтому можно упростить расчет, считая плотность энергии поля постоянной по всему объему. В нашем случае:

\[\Delta W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} V = \frac{\varepsilon_0}{2} \left[ \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \right]^2 4\pi R^2 \Delta R.\]

\[W_{\text{нан}} = W_Q + W_{2Q} - \frac{\varepsilon_0}{2} \left[ \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \right]^2 4\pi R^2 \cdot \Delta R - \frac{\varepsilon_0}{2} \left[ \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 9R^2} \right]^2 4\pi 9R^2 \Delta R.\]

\[W_{\text{кон}} = W_Q + W_{2Q} - \frac{\varepsilon_0}{2} \left[ \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \right] 4\pi R^2 \Delta R - \frac{\varepsilon_0}{2} \left[ \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 9R^2} \right]^2 4\pi 9R^2 \Delta R,\]

где \(\Delta W\) – величина «съеденной» энергии поля, \(W_{\text{нан}}\) и \(W_{\text{кон}}\) соответственно начальное и конечное значение энергии системы. Согласно закону сохранения энергии:

\[W_{\text{кон}} = W_{\text{нан}} + A,\]

где \(A\) – искомое значение зарядов минимальной работы по перестановке местами. В нашем случае:

\[A = -\frac{Q^2}{60\pi \varepsilon_0 R}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.