Две катушки и два ключа

Пока катушки соединены параллельно, напряжения на них равны при любых токах. Сравните скорости изменения токов в катушках: что остаётся постоянным?

После замыкания ключа \(K_2\) напряжения на концах обеих катушек в любой момент времени равны друг другу. Так как активные сопротивления катушек равны нулю, это условие записывается в виде равенства ЭДС самоиндукции: \[L\frac{dI_1}{dt} = L\frac{dI_2}{dt},\] где \(L\) — индуктивность катушек, \(I_1\) и \(I_2\) — силы токов в катушках. Отсюда \(I_1(t) - I_2(t) = \text{const}\): разность токов в катушках не меняется.

Силу тока через первую катушку в момент замыкания ключа \(K_2\) обозначим \(I_0\): \(I_1(t=0) = I_0\). В этот же момент ток через вторую катушку равен нулю: \(I_2(t=0) = 0\). Поэтому \[I_1(t) - I_2(t) = I_0 = \text{const}.\] В установившемся режиме через катушки текут постоянные токи \(I_{\text{уст.1}}\) и \(I_{\text{уст.2}}\). Разность потенциалов на концах катушек равна нулю, поэтому ток через источник \(I_{\text{ист}} = \dfrac{\varepsilon}{r}\). По правилу Кирхгофа \[I_{\text{уст.1}} + I_{\text{уст.2}} = \frac{\varepsilon}{r}.\] По условию \(I_{\text{уст.1}} = 2I_{\text{уст.2}}\). Отсюда \(I_{\text{уст.1}} = \dfrac{2\varepsilon}{3r}\), \(I_{\text{уст.2}} = \dfrac{\varepsilon}{3r}\), и искомая величина \[I_0 = I_{\text{уст.1}} - I_{\text{уст.2}} = \frac{\varepsilon}{3r}.\]