Цикл из двух линейных участков и изохоры

Работа на линейном участке равна площади трапеции под графиком; на изохоре она равна нулю. Для точек 1 и 3 на одной изотерме и точек 1, 2 на одной прямой через начало координат удобно выразить давления через \(T_1\) и \(T_2\).

Работа, совершаемая газом на участке, численно равна площади трапеции между графиком процесса, осью \(V\) и двумя перпендикулярами из начальной и конечной точек процесса на ось \(V\). Работа положительна, если газ расширяется, и отрицательна, если сжимается. Работа за весь цикл численно равна площади треугольника 1,2,3.

Работа на участке \(1\mapsto2\): \[A_{1\mapsto2} = \frac{1}{2}\,[P_1 + P_2]\,[V_{3(2)} - V_1].\] Работа на участке \(3\mapsto1\): \[A_{3\mapsto1} = -\frac{1}{2}\,[P_1 + P_3]\,[V_{3(2)} - V_1].\] На изохоре \(2\mapsto3\) работа равна нулю. Здесь \(V_{3(2)} = V_2\) — объём изохоры. Тогда работа за цикл \[A = A_{1\mapsto2} + A_{3\mapsto1} = \frac{1}{2}\,[P_1 + P_2][V_{3(2)} - V_1] - \frac{1}{2}\,[P_1 + P_3][V_{3(2)} - V_1].\] Раскрывая скобки и используя уравнение Клапейрона–Менделеева \(PV = RT\) (для одного моля), получаем \[A = \frac{1}{2}[RT_2 - RT_1] + \frac{1}{2}[P_3 - P_2]V_1 = \frac{1}{2}[RT_2 - RT_1] + \frac{1}{2}\left[\frac{P_3}{P_1} - \frac{P_2}{P_1}\right] RT_1.\] Из подобия прямоугольных треугольников на рисунке \(\dfrac{P_2}{V_{3(2)}} = \dfrac{P_1}{V_1}\), а из того, что точки 1 и 3 лежат на одной изотерме, \(P_1V_1 = P_3V_{3(2)}\). Отсюда \(P_1 = \sqrt{P_2P_3}\), то есть \(\dfrac{P_3}{P_1} = \dfrac{P_1}{P_2}\). Изохора \(2\mapsto3\) даёт \(\dfrac{P_2}{P_3} = \dfrac{T_2}{T_3} = \dfrac{T_2}{T_1}\). Следовательно, \[\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}, \qquad \frac{P_3}{P_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}.\] После подстановки получаем \[A = \frac{RT_1}{2}\left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right)\left(1 - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right).\]