Распрямление соленоида

При распрямлении индуктивность падает, а вместе с ней уменьшается магнитный поток через соленоид. Как по закону Ленца ответит на это ЭДС самоиндукции?

Сначала ток возрастает (при очень быстром распрямлении \(I\approx I_0L_0/L\)), затем уменьшается и через некоторое время снова становится равным первоначальному \(I_0=\mathcal{E}/R\).

Что происходит. Магнитный поток соленоида \(\Phi=LI\), где \(L\) — индуктивность. Когда проволоку вытягивают, витки расходятся и \(L\) уменьшается, поэтому поток тоже уменьшается. По закону Ленца ЭДС самоиндукции направлена так, чтобы противодействовать уменьшению потока, то есть поддерживает ток. Значит, ток растёт; когда вытягивание закончилось, избыток тока затухает до значения, которое задаёт только источник.

Обозначения. \(\mathcal{E}\) — ЭДС источника, \(R\) — полное сопротивление цепи (проволока, источник, амперметр), \(L(t)\) — индуктивность соленоида, \(I_0=\mathcal{E}/R\) — ток до растяжения.

1. Уравнение цепи. Закон Ома для замкнутой цепи с учётом ЭДС самоиндукции \(\mathcal{E}_{\text{си}}=-\dfrac{d\Phi}{dt}\): \[RI=\mathcal{E}-\frac{d(LI)}{dt}.\] До растяжения \(L\) и \(I\) постоянны, \(I=I_0=\mathcal{E}/R\).

2. Время растяжения мало. Пусть соленоид растягивают за время \(\tau\), много меньшее \(L/R\). За такое время падение напряжения \(RI\) успевает изменить поток \(\Phi=LI\) лишь на малую долю: из уравнения \(\dfrac{d\Phi}{dt}=\mathcal{E}-RI\) получаем \(\Delta\Phi\sim R I\tau\ll LI\). Поэтому поток почти не меняется, \[L(t)\,I(t)\approx L_0I_0\quad\Longrightarrow\quad I(t)\approx I_0\,\frac{L_0}{L(t)} .\] Индуктивность убывает от \(L_0\) до \(L_1\), значит ток возрастает до значения \(I_{\max}\approx I_0L_0/L_1\).

3. После растяжения. Теперь \(L=L_1=\text{const}\), уравнение \(L_1\dfrac{dI}{dt}=\mathcal{E}-RI\) имеет решение \[I=I_0+(I_{\max}-I_0)\,e^{-Rt'/L_1},\] где \(t'\) — время, отсчитанное от конца растяжения. Ток убывает по экспоненте и через время порядка \(L_1/R\) становится равным \(I_0=\mathcal{E}/R\): в установившемся режиме \(L\) в закон Ома не входит.

Обратите внимание: ток возвращается к первоначальному значению не потому, что «индуктивность вернулась», а потому, что при постоянном токе ЭДС самоиндукции равна нулю, и ток определяется только \(\mathcal{E}\) и \(R\).

Ответ: ток сначала возрастает (в пределе быстрого растяжения \(I=I_0L_0/L\)), затем убывает по экспоненте до первоначального значения \(\mathcal{E}/R\).

Проверка. Энергия: в пределе постоянного потока магнитная энергия \(\dfrac{\Phi^2}{2L}\) растёт при уменьшении \(L\) — это работа руки, растягивающей соленоид против сил, действующих на витки. Предел \(R\to0\) (сверхпроводящий контур): поток сохраняется всегда, ток остаётся \(I_0L_0/L_1\) и обратно не возвращается — в согласии с формулой, где время спада \(L_1/R\to\infty\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.