Шар и параллельный пучок

Найдите угол, на который шар отклоняет один луч, как функцию угла падения. Для параллельного выходящего пучка эта величина должна быть одинаковой у всех лучей.

Угол отклонения луча \(\varphi=2(\alpha-\beta)\) строго возрастает с углом падения \(\alpha\), если показатель преломления \(n>1\); лучи, падающие на разной высоте, отклоняются по-разному, поэтому пучок не остаётся параллельным.

Что происходит. Параллельные лучи попадают на шар на разной высоте, то есть под разными углами падения \(\alpha\) к нормали. После выхода они параллельны, только если шар отклонил все лучи на один и тот же угол \(\varphi\). Покажем, что \(\varphi\) зависит от \(\alpha\).

Обозначения. Шар радиуса \(R\) с центром \(O\), показатель преломления \(n>1\) (стекло в воздухе). Рассматриваем луч в плоскости, проходящей через центр шара и параллельной пучку. \(\alpha\) — угол падения, \(\beta\) — угол преломления.

1. Ход одного луча. На входе (точка \(A\)) закон преломления: \(\sin\alpha=n\sin\beta\). Треугольник \(OAB\) равнобедренный (\(OA=OB=R\)), поэтому угол между хордой \(AB\) и нормалью в точке \(B\) тоже равен \(\beta\); на выходе \(n\sin\beta=\sin\alpha'\), откуда \(\alpha'=\alpha\). На входе луч повернулся на угол \(\alpha-\beta\) к нормали, на выходе — ещё на \(\alpha-\beta\) в ту же сторону. Полный угол отклонения \[\varphi=2(\alpha-\beta).\]

2. Условие параллельности. Два входящих луча параллельны. Они останутся параллельными после выхода, только если повёрнуты на одинаковый угол: \(\varphi(\alpha)=\text{const}\) на всём интервале углов падения пучка, а значит, \(\dfrac{d\varphi}{d\alpha}=0\).

3. Производная. Продифференцируем закон преломления: \(\cos\alpha\,d\alpha=n\cos\beta\,d\beta\), откуда \[\frac{d\beta}{d\alpha}=\frac{\cos\alpha}{n\cos\beta}=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}},\] так как \(n\cos\beta=\sqrt{n^2-n^2\sin^2\beta}=\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}\). Знаменатель при \(n>1\) больше \(\cos\alpha\): \(n^2-\sin^2\alpha>1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\). Значит \(\dfrac{d\beta}{d\alpha}<1\) и \[\frac{d\varphi}{d\alpha}=2\left(1-\frac{d\beta}{d\alpha}\right)>0 .\] Равенство нулю возможно только при \(n=1\), то есть когда шара как среды нет.

График для \(n=1{,}5\): угол отклонения непрерывно растёт от нуля при \(\alpha=0\) до \(2(90^\circ-\arcsin\frac1n)\approx96{,}4^\circ\) при скользящем падении; пересечение с горизонтальной линией \(\varphi=\text{const}\) возможно только в одной точке, то есть горизонтали, нужной для параллельного пучка, график нигде не касается.

Обратите внимание: достаточно двух близких лучей: если пара бесконечно близких лучей после выхода не параллельна, то и весь пучок нет. Именно это даёт условие \(d\varphi/d\alpha\ne0\).

Проверка. При \(n\to1\) производная \(d\varphi/d\alpha\to0\) и \(\varphi\to0\): прозрачный шар «без стекла» ничего не отклоняет. При малых \(\alpha\) получаем \(\varphi\approx2\alpha(1-1/n)\): приосевые лучи отклоняются тем сильнее, чем дальше от оси, как и в линзе.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.