Два конденсатора и батарея

Если зарядить оба конденсатора от батареи и включить их последовательно с ней, получится \(3\mathcal{E}\). Как «подкачать» один из конденсаторов, используя батарею и второй конденсатор?

Сколь угодно близкую к \(4\mathcal{E}\): после \(n\) циклов подкачки получается напряжение \(4\mathcal{E}-\mathcal{E}/2^n\).

Что происходит. Простейший способ: зарядить каждый конденсатор до \(\mathcal{E}\) и соединить оба последовательно с батареей — получим \(3\mathcal{E}\). Можно больше: если батарею включить последовательно с одним конденсатором, то на втором, замкнутом на эту пару, напряжение окажется выше \(\mathcal{E}\). Повторяя, доводим напряжение на втором конденсаторе почти до \(2\mathcal{E}\); последовательное соединение с батареей и другим конденсатором, заряженным до \(\mathcal{E}\), даёт напряжение, близкое к \(4\mathcal{E}\).

Обозначения. Ёмкость каждого конденсатора \(C\). \(U_1\), \(U_2\) — напряжения на конденсаторах \(C_1\), \(C_2\); \(q_1\), \(q_2\) — заряды их нижних пластин (на рисунке они положительны).

1. Одна подкачка. Соединим по кольцу: \(C_2\), батарею (её плюс направлен к \(C_1\)) и \(C_1\); нижние пластины соединены общим проводом. Идём по кольцу и складываем напряжения (второй закон Кирхгофа для кольца в конце процесса): \[\mathcal{E}+U_1=U_2 .\] Нижние пластины и соединяющий их провод изолированы, поэтому их суммарный заряд не меняется (закон сохранения заряда): \[q_1+q_2=C(U_1^{\text{нач}}+U_2^{\text{нач}}),\qquad\text{то есть}\quad U_1+U_2=U_1^{\text{нач}}+U_2^{\text{нач}} .\] Пусть перед соединением \(C_1\) заряжен от одной батареи до \(U_1^{\text{нач}}=\mathcal{E}\), а на \(C_2\) напряжение \(U_2^{\text{нач}}=U\). Решаем систему: \(U_1+U_2=\mathcal{E}+U\) и \(U_2-U_1=\mathcal{E}\), откуда \[U_2^{\text{нов}}=\mathcal{E}+\frac U2 .\]

2. Повторение. Начинаем с \(U=\mathcal{E}\) (второй конденсатор заряжен от батареи). Каждый раз заново заряжаем \(C_1\) от батареи до \(\mathcal{E}\) и повторяем подкачку. Получаем \(U^{(0)}=\mathcal{E}\), \(U^{(1)}=\dfrac32\mathcal{E}\), \(U^{(2)}=\dfrac74\mathcal{E}\) и вообще \[U^{(n)}=2\mathcal{E}-\frac{\mathcal{E}}{2^n}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 2\mathcal{E}.\] Действительно, если \(U^{(n)}=2\mathcal{E}-\mathcal{E}/2^n\), то \(U^{(n+1)}=\mathcal{E}+\dfrac12\left(2\mathcal{E}-\dfrac{\mathcal{E}}{2^n}\right)=2\mathcal{E}-\dfrac{\mathcal{E}}{2^{n+1}}\).

3. Итоговая сборка. Заряжаем \(C_1\) от батареи до \(\mathcal{E}\) и соединяем последовательно батарею, \(C_1\) и \(C_2\) (напряжения складываются): \[U_{\text{общ}}=\mathcal{E}+\mathcal{E}+U^{(n)}=4\mathcal{E}-\frac{\mathcal{E}}{2^n}.\]

Для \(n=0\) получаем \(3\mathcal{E}\), для \(n=1\) — \(3{,}5\mathcal{E}\), для \(n=2\) — \(3{,}75\mathcal{E}\) и так далее; напряжение сколь угодно близко к \(4\mathcal{E}\), но ровно \(4\mathcal{E}\) получилось бы только при бесконечном числе повторов.

Обратите внимание: «подкачка» идёт за счёт того, что батарея в кольце добавляет напряжение \(\mathcal{E}\) к напряжению на \(C_1\), а общий заряд нижних пластин сохраняется; каждый раз заново заряжать \(C_1\) от одной батареи необходимо, иначе в кольце сумма \(U_1+U_2\) не растёт.

Ответ: напряжение, сколь угодно близкое к \(4\mathcal{E}\). Именно в этой схеме больше \(4\mathcal{E}\) получить нельзя: напряжение на подкачиваемом конденсаторе стремится к \(2\mathcal{E}\).

Проверка. Энергия и заряд согласованы: при \(n=1\) на \(C_2\) напряжение \(\tfrac32\mathcal{E}\), на \(C_1\) после подкачки \(\tfrac12\mathcal{E}\), и \(U_1+U_2=2\mathcal{E}\) — как сумма \(\mathcal{E}+\mathcal{E}\) до соединения. Неподвижная точка \(U=\mathcal{E}+U/2\) даёт \(U=2\mathcal{E}\), как и предел последовательности.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.