Брусок с блоком и груз

Нить нерастяжима: на сколько брусок сместился к стене, на столько удлинился свисающий кусок нити. Груз участвует в двух движениях: вместе с бруском и вдоль нити.

\(m=\dfrac{M\sin\alpha}{(1-\sin\alpha)^2}\); ускорение системы \(a=g\tan\alpha\).

Что происходит. Пока угол \(\alpha\) постоянен, нить с грузом движется вместе с бруском как жёсткая конструкция, и груз к тому же удаляется от блока вдоль нити: свисающий кусок удлиняется на столько, на сколько брусок приблизился к стене. Нужно записать второй закон Ньютона для бруска с блоком и для груза, учтя это и ускорение груза относительно земли, найти натяжение и ускорение и выразить \(m\).

Обозначения. \(T\) — натяжение нити (блок невесом, трения нет: натяжение одинаково с обеих сторон), \(a\) — ускорение бруска (к стене). Ось \(x\) направлена к стене (влево), ось \(y\) — вверх.

1. Брусок с блоком. Силы вдоль рельсов: нить тянет блок влево с силой \(T\) (горизонтальный кусок) и свисающий кусок тянет вправо с горизонтальной составляющей \(T\sin\alpha\). Второй закон Ньютона для бруска с блоком в проекции на ось \(x\): \[T-T\sin\alpha=Ma .\]

2. Ускорение груза. Относительно земли ускорение груза — сумма ускорения бруска \(a\) (влево) и ускорения вдоль нити от блока, которое по длине нити равно тоже \(a\) (нить удлиняется на столько, на сколько брусок сместился; угол \(\alpha\) не меняется, поэтому относительное движение идёт вдоль нити). Направление вдоль нити от блока: вправо и вниз, \((\sin\alpha;\,-\cos\alpha)\). Проекции ускорения груза: \[A_x=a-a\sin\alpha=a(1-\sin\alpha)\ \text{(влево)},\qquad A_y=-a\cos\alpha\ \text{(вниз)}.\]

3. Груз. На груз действуют тяжесть \(mg\) вниз и натяжение \(T\) вдоль нити к блоку, то есть влево и вверх. Второй закон Ньютона в проекциях: \[T\sin\alpha=ma(1-\sin\alpha),\qquad T\cos\alpha-mg=-ma\cos\alpha .\] Выразим \(T\) из второго: \(T\cos\alpha=m(g-a\cos\alpha)\). Разделим первое уравнение на второе: \[\tan\alpha=\frac{a(1-\sin\alpha)}{g-a\cos\alpha}\quad\Longrightarrow\quad g\tan\alpha-a\sin\alpha=a-a\sin\alpha\quad\Longrightarrow\quad a=g\tan\alpha .\] Ускорение не зависит от масс. Натяжение из второго уравнения груза: \[T=\frac{m(g-a\cos\alpha)}{\cos\alpha}=\frac{mg(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha}.\]

4. Масса груза. Подставим \(a\) и \(T\) в уравнение бруска: \[\frac{mg(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha}(1-\sin\alpha)=Mg\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad\Longrightarrow\quad m=\frac{M\sin\alpha}{(1-\sin\alpha)^2}.\]

Обратите внимание: в книге приведён другой ответ, \(m=\dfrac{M\sin\alpha}{1-\sin\alpha}\). Он получается, если принять, что проекция ускорения груза на нить равна \(a\) и его горизонтальная проекция тоже равна \(a\). Но блок вместе с бруском сам движется: ускорение груза относительно земли — сумма ускорения бруска и ускорения вдоль нити, как в шаге 2. Правильность нашего ответа подтверждается независимой проверкой ниже.

Ответ: \(m=\dfrac{M\sin\alpha}{(1-\sin\alpha)^2}\).

Проверка энергетическим способом. Пусть брусок сместился на \(s\) к стене, его скорость \(v\). Груз движется со скоростью с компонентами \(v(1-\sin\alpha)\) по горизонтали и \(v\cos\alpha\) вниз, его кинетическая энергия \(\tfrac12mv^2\bigl[(1-\sin\alpha)^2+\cos^2\alpha\bigr]=\tfrac12mv^2\cdot2(1-\sin\alpha)\); он опустился на \(s\cos\alpha\). Закон сохранения энергии: \[\tfrac12\bigl(M+2m(1-\sin\alpha)\bigr)v^2=mgs\cos\alpha\ \Longrightarrow\ a=\frac{mg\cos\alpha}{M+2m(1-\sin\alpha)} .\] Приравняем к \(a=g\tan\alpha\): \(m\cos^2\alpha=\sin\alpha\,\bigl(M+2m(1-\sin\alpha)\bigr)\), откуда \(m(1-\sin\alpha)^2=M\sin\alpha\)  — тот же ответ. Предел \(\alpha\to0\): \(m\to0\) (груз почти вертикален и ничего не тянет), \(\alpha\to90^\circ\): \(m\to\infty\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.