Шарик в конденсаторе

Шарик, соединённый с пластиной, и пластина — один проводник. Каким должен стать потенциал шарика?

Модуль заряда \(|q|=2\pi\varepsilon_0Ur\); знак совпадает со знаком заряда той пластины, с которой соединили шарик.

Что происходит. Пока шарик не соединён ни с чем, он стоит в середине однородного поля, где потенциал ровно посередине между потенциалами пластин. После соединения проводником шарик и пластина образуют один проводник с одним потенциалом. Чтобы потенциал шарика стал равен потенциалу пластины, на шарике должен появиться заряд, собственный потенциал которого компенсирует разницу.

Обозначения. Потенциал нижней пластины принимаем за нуль, верхней — \(U\). Расстояние между пластинами велико по сравнению с \(r\), пластины велики по сравнению с шариком. Шарик соединяют с нижней пластиной (случай верхней отличается только знаком).

1. Потенциал в середине без шарика. Поле между пластинами однородно, потенциал растёт линейно от \(0\) до \(U\), посередине он равен \(U/2\).

2. Потенциал шарика с зарядом \(q\). Потенциал проводящего шарика в поле конденсатора складывается из потенциала внешнего поля в его центре и потенциала собственного заряда: \(\varphi_{\text{ш}}=\dfrac U2+\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\). Заряды, наведённые полем на поверхности шарика, не дают вклада: они образуют диполь, а его потенциал в центре шара равен нулю.

3. Условие соединения. Проводник означает равенство потенциалов шарика и нижней пластины. Потенциал пластины практически не меняется от небольшого добавленного заряда (ёмкость пластин много больше ёмкости шарика), поэтому \(\varphi_{\text{ш}}=0\): \[\frac U2+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}=0\quad\Longrightarrow\quad q=-2\pi\varepsilon_0Ur .\] Знак минус: шарик получает заряд, одноимённый с нижней пластиной (у неё потенциал ниже, значит она заряжена отрицательно).

Обратите внимание: потенциал шарика после соединения равен \(0\), а не \(U\) и не \(U/2\); ошибиться легко, потому что «в середине» хочется оставить \(U/2\).

Ответ: \(|q|=2\pi\varepsilon_0Ur\).

Проверка. Размерность: \(\varepsilon_0U r\) — (Ф/м)\(\cdot\)В\(\cdot\)м = Ф\(\cdot\)В = Кл. Предел: при \(r\to0\) заряд \(q\to0\) (точечный шарик не искажает поле), при \(U=0\) тоже ноль — как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.