Вода из воздуха

Пока пар не насыщен, давление его постоянно при изобарном охлаждении; ниже точки росы давление пара равно давлению насыщенного пара при текущей температуре, и масса воды равна убыли массы пара.

1) \(16\,^\circ\)C;  2) \(m\approx37{,}3\) мг;  3) \(N\approx5{,}4\cdot10^{3}\) охлаждений;  5) \(A\approx0{,}17\) Дж;  6) \(\Theta\approx4{,}6\) кДж/кг.

1. Так как давление насыщенного пара зависит от температуры, то при изобарном охлаждении температура водяного пара может достичь точки, когда пар при постоянном начальном давлении \(\varphi p_{\text{н1}}\) уже станет насыщенным. Проводя горизонтальную прямую изобары \(p = \varphi p_{\text{н1}} = 1{,}81\) кПа на графике бланка-вкладыша, найдем искомую температуру \(T_{\text{В}} = 16\,^{\circ}\text{C} = 289\) К.

Стоит отметить, что при охлаждении ниже найденной температуры давление водяного пара уже перестанет быть постоянным. В случае достаточно медленного процесса оно будет соответствовать давлению насыщенного пара при текущей температуре газа, как максимально возможному. С другой стороны процесс для всего воздуха в сосуде, давление которого гораздо больше, чем пара, процесс будет протекать по обычной схеме изобарного охлаждения.

2. Так как минимальная температура холодильной установки Феди ниже \(T_{\text{В}}\), то пар действительно начнет конденсироваться. Массу образовавшейся воды можно рассчитать аналогично п. 1.3 задачи 10 класса, найдя химическое количество водяного пара до (\(\nu_1\)) и после (\(\nu_3\)) охлаждения при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона. Для подобного расчета необходимо найти давление насыщенного водяного пара в конце охлаждения (при температуре \(T_2 = 4{,}0\,^{\circ}\text{C}\)) из графика на бланке-вкладыше: \(p_{\text{н2}} \approx 0{,}80\) кПа. Кроме того, необходимо получить выражение для расчета конечного объема водяного пара \(V_3\), равного объему всего воздуха в сосуде. Для этого запишем уравнение, соответствующее изобарному охлаждению воздуха: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_3}{T_2}\). Тогда массу образовавшейся воды можно найти следующим образом:

\[m_{\text{в}} = M(\nu_1 - \nu_3) = M \left( \frac{\varphi p_{\text{н1}} V_1}{R T_1} - \frac{p_{\text{н2}} V_3}{R T_2} \right) = \frac{M}{R} \left( \varphi p_{\text{н1}} \frac{V_1}{T_1} - p_{\text{н2}} \frac{V_3}{T_2} \right) = \frac{M V_1}{R T_1} (\varphi p_{\text{н1}} - p_{\text{н2}})\]

\[m_{\text{в}} = 3{,}73 \cdot 10^{-5} \text{ кг} = 37{,}3 \text{ мг}\]

3. Стакан воды можно насобирать за \(N_{\text{в}} = m_{\text{с}} / m_{\text{в}} = 5360\) охлаждений.

4. От начала процесса до точки конденсации водяного пара диаграмма соответствует изобарному процессу и представляет собой участок горизонтальной прямой. Далее в ходе процесса конденсации давление водяного пара будет уменьшаться. Так как в ходе изобарного охлаждения объем и давление прямо пропорциональны друг другу, то

характер уменьшения давления с объемом аналогичен поведению графика давления от температуры на бланке-вкладыше. Обратный нагрев после сбора влаги будет снова проходить при постоянном давлении – ему так же соответствует участок горизонтальной прямой до первоначального объема. Наконец, при постоянном объеме и открытом отверстии химическое количество пара возвращается к первоначальному (возвращается исходная влажность воздуха) и диаграмма замыкается. Схематичное изображение процесса представлено на рисунке.

5. Для подсчета полной работы, совершаемой над содержимым сосуда, надо найти площадь, ограниченную построенной в предыдущем пункте диаграммой. Для грубой оценки заменим криволинейный участок на прямую и найдем площадь получившейся трапеции \(ABCD\). Нам будут необходимы значения объемов в характерных точках на графике, которые можно найти, используя выражения для изобарного процесса с воздухом в сосуде:

\[V_{\text{В}} = V_1 \frac{T_{\text{В}}}{T_1} = 4{,}93 \text{ л}; \quad V_3 = V_1 \frac{T_2}{T_1} = 4{,}73 \text{ л}\]

Тогда полная работа, примерно равная площади трапеции \(ABCD\), будет:

\[A_{\text{В}} \approx S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AB + CD) AD = \frac{1}{2} ((V_1 - V_{\text{В}}) + (V_1 - V_3)) (\varphi p_{\text{н1}} - p_{\text{н2}}) = 0{,}172 \text{ Дж}\]

6. Для данного процесса удельная работа конденсации получается:

\[\theta_{\text{В}} = A_{\text{В}} / m_{\text{В}} = 4{,}61 \text{ кДж/кг}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.