Гидроатмосферный подъемник

Подсказка

Течение воды в узком зазоре — это вязкая жидкость в квазистационарном режиме: ускорением пробирки пренебрегают, а силы давления, тяжести и вязкого трения уравновешивают друг друга; расход равен произведению скорости пробирки на площадь её сечения.

Ответ

1.1) \(F_{\text{вязк}}=\dfrac{12\eta l}{h^2}q\);  1.2) \(F_{\text{бок}}=\dfrac{6\eta l}{h^2}q\);  1.3) \(F_{\text{бок}}/F_0=h/R\ll1\);  2.1.1) \(z_{\max}=\dfrac{m}{\pi R^2\rho}\);  2.1.3) \(\tau\approx0{,}25\,\dfrac{z_{\max}}{v_0}\), где \(v_0=\dfrac{\rho gh^3}{6\eta R}\);  2.2.1) \(z_{\min}=\dfrac{m}{\pi R^2\rho}\);  3.1) \(m=\dfrac14\rho Sl\);  3.3) \(A=\dfrac14\rho gSl^2\);  3.4) \(\eta=50\,\%\).

Решение

1. Введение.

1.1 Так расход жидкости постоянен, то любая порция жидкости движется без ускорения, следовательно, сумма сил действующих на любую выбранную часть жидкости, равна нулю.

Применяя эти рассуждения к жидкости в зазоре, можем утверждать, что разность сил давления (действующих на торцы жидкости) уравновешивается силами вязкого трения, действующими со стороны стенок:

\[\Delta P \cdot 2 \pi R h = F_{\text{вязк.}}\tag{1}\]

Разность давлений следует выразить через расход с помощью формулы (1), приведенной в условии задачи:

\[q = \frac{\pi R h^{3}}{6 \eta l} \Delta P \quad \Rightarrow \quad \Delta P = \frac{6 \eta l}{\pi R h^{3}} q \, ,\tag{2}\]

Подставляя это выражение в формулу (1), получим формулу для суммарной силы вязкого трения, действующей на воду в зазоре:

\[F_{\text{вязк.}} = \Delta P \cdot 2 \pi R h = \frac{6 \eta l}{\pi R h^{3}} q \cdot 2 \pi R h = \frac{12 \eta l}{h^{2}}\tag{3}\]

1.2 По третьему закону Ньютона сила, действующая со стороны стенок на воду равна по модулю силе, действующей со стороны воды на стенку. Так как площади боковой поверхности цилиндра и стенок трубы в зазоре практически равны (т.к. \(h \ll R\)), а сила вязкого трения пропорциональна площади соприкосновения, то сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, в два раза меньше силы, действующей на воду, поэтому

\[F_{\text{бок.}} = \frac{1}{2} \Delta P \cdot 2 \pi R h = \pi R h \Delta P = \frac{6 \eta l}{h^{2}} q \, .\tag{4}\]

1.3 Понятно, что разность сил давлений, действующих на торцы цилиндра, равна

\[F_{0} = \pi R^{2} \Delta P \, .\tag{5}\]

Следовательно, их отношение равно

\[\frac{F_{\text{бок.}}}{F_{0}} = \frac{\pi R h \Delta P}{\pi R^{2} \Delta P} = \frac{h}{R} \ll 1 \, .\tag{6}\]

Таким образом, в рассматриваемой ситуации силами вязкого трения можно пренебречь, по сравнению с разностью сил давления. Правда, эта разность сил давления зависит от расхода жидкости.

Часть 2. Описание эффекта (пробирка в пробирке).

2.1 При опускании пробирки на нее дейую силы тяжести \(m \vec{g}\) и сила давления жидкости на дно пробирки \(F = \pi R^{2} \Delta P\). Как было показано ранее, в подобной ситуации можно пренебречь силой вязкого трения. Здесь ради укорочения формулой мы обозначили \(\Delta P\) - разность между давлением жидкости на глубине \(z\) и атмосферным давлением. Поэтому уравнение движения пробирки в квазистационарном приближении имеет вид

\[m g = \pi R^{2} \Delta P \, .\tag{7}\]

Отметим, что для величины \(\Delta P\) нельзя использовать формулу для гидростатического давления, так жидкость в зазоре движется. Поэтому для нахождения этого давления запишем уравнение второго закона Ньютона для жидкости в зазоре (опять в квазистационарном приближении):

\[\Delta P \cdot 2 \pi R h = \rho(2 \pi R h z) g + F_{\text{вязк.}}\tag{8}\]

Смысл которого очевиден: разность сил давления уравновешивается силами тяжести и вязкого трения, действующими на воду в зазоре. Для силы вязкого трения справедлива полученная ранее формула (3). С ее учетом, получим

\[\Delta P \cdot 2 \pi R h = \rho(2 \pi R h z) g + \frac{12 \eta z}{h^{2}} q \quad \Rightarrow \quad \Delta P = \rho g z + \frac{6 \eta}{\pi R h^{3}} z q\tag{9}\]

Расход воды, протекающей через зазор можно выразить через скорость движения пробирки (вся жидкость, вытесненная пробиркой, должна протечь через зазор): \(q = \pi R^{2} v\). Подставляя эти выражения в уравнение (7) получим

\[m g = \pi R^{2}\left(\rho g z + \frac{6 \eta z}{\pi R h^{3}} \pi R^{2} v\right) = \pi R^{2} \rho g z + \frac{6 \pi \eta R^{3}}{h^{3}} z v.\tag{10}\]

Движение пробирки прекратиться, когда скорость станет равной нулю, соответствующая максимальная глубина погружения определяется формулой:

\[z_{\max} = \frac{m}{\pi R^{2} \rho}.\tag{11}\]

Зависимость скорости от координаты \(z\) можно выразить из уравнения (10)

\[v = \frac{m g - \pi R^{2} \rho g z}{\frac{6 \pi \eta R^{3}}{h^{3}} z} = \frac{\rho g h^{3}}{6 \eta R} \frac{z_{\max} - z}{z}\tag{12}\]

Обозначим коэффициент в этой формуле (он имеет размерность скорости) \(\frac{\rho g h^{3}}{6 \eta R} = v_{0}\), тогда зависимость (12) приобретает вид

\[v = v_{0} \frac{z_{\max} - z}{z}.\tag{13}\]

График этой функции показан на рисунке. Для оценки времени движения в указанном диапазоне можно построить график обратной зависимости \(v^{-1}(z)\) (см. рис.), тогда площадь под этим графиком численно равна времени движения, т.к. \(\Delta t = \frac{\Delta z}{v}\). Для оценки площади плавную кривую можно заменить отрезком

прямой. На построенном графике в относительных единицах эта площадь равна \(0{,}25\). Переход к обычным единицам приводит к результату

\[\tau \approx 0{,}25 \frac{z_{\max}}{v_0} \approx 0{,}25 \frac{6 \eta R m}{\pi R^2 \rho^2 g h^3}.\tag{14}\]

Замечания. 1. Формула (11) может быть получена непосредственно из условия равновесия в пробирки (когда справедливы законы статики) – сила тяжести проверки уравновешивается силой Архимеда. 2. Точное значение времени движения может быть вычислено путем строгого интегрирования. Рассчитанное значение площади под кривой равно \(0{,}2\). Иными словами допущенная погрешность составляет величину порядка \(20\%\). 3. Формально в рассмотренном квазистационарном приближении пробирка стартует с бесконечно большой скоростью. Это связано с тем, что в начальном положении пробирки отсутствует сила вязкого трения. Однако на конечный результат, это обстоятельство не играет существенной роли.

2.2 Описание движения пробирки в перевернутом положении проводится аналогично проведенному в п. 2.2. Уравнение движения пробирки имеет вид

\[m g = \pi R^2 \Delta P.\tag{15}\]

здесь \(\Delta P\) - разность между атмосферным давлением и давлением воды на высоте \(z\) (которое меньше атмосферного). Закон движение воды в зазоре

\[\rho (2 \pi R h z) g - \Delta P \cdot 2 \pi R h = F_{\text{вязк}}.\tag{16}\]

Для силы вязкого трения, по-прежнему, справедлива формула (3), поэтому разность давлений в этом случае оказывается равным

\[\rho (2 \pi R h z) g - \Delta P \cdot 2 \pi R h = \frac{12 \eta l}{h^2} q \quad \Rightarrow \quad \Delta P = \rho g z - \frac{6 \eta R}{h^3} z v\tag{17}\]

А уравнение движения пробирки

\[m g = \pi R^2 \rho g z - \frac{6 \pi \eta R^3}{h^3} z v.\tag{18}\]

Из этого уравнения следует, что минимальная высота подъема пробирки, при которой начнется ее движение вверх, равна

\[z_{\min} = \frac{m}{\pi R^2 \rho},\tag{19}\]

что совпадает с максимальной глубиной погружения, полученной ранее. Зависимость скорости подъема имеет вид

\[v = \frac{\rho g h^3}{6 \eta R} \frac{z - z_{\min}}{z}.\tag{20}\]

Отметим, что в данном случае формула имеет смысл при \(z > z_{\min}\).

Графики этой зависимости и обратной ей \(v^{-1}(z)\) показаны на рисунках. Оценка времени движения в указанном диапазоне (проведенная по линейной аппроксимации зависимости \(v^{-1}(z)\)) равна

\[\tau \approx 0{,}75 \frac{z_{\max}}{v_0} \approx 0{,}75 \frac{6 \eta R m}{\pi R^2 \rho^2 g h^3}.\tag{21}\]

3.1 Так как пробирка начинает подниматься при высоте ее погружения равной \(l/4\), то при этом положении сила Архимеда равна силе тяжести:

\[\rho g S \frac{l}{4} = m g \quad \Rightarrow \quad m = \frac{1}{4} \rho S l.\tag{22}\]

3.2 Так как процесс подъема можно считать квазистационарным, то при любом положении пробирки она находится в равновесии, условие которого имеет вид (с учетом формулы (22)):

\[\begin{aligned} \rho g S \left( \frac{l}{2} + z \right) &= m g + F \quad \Rightarrow \\ F &= \rho g S l \left( \frac{z}{l} + \frac{1}{4} \right) \end{aligned}\tag{23}\]

После того, как пробирка поднялась до максимальной высоты, внешнее устройство отключается, поэтому внешняя сила падает до \(F = 0\). Так как вода наливается из резервуара быстро, то можно пренебречь просачиванием воды из бутылки за время ее опускания. Эти рассуждения позволяют построить график рассматриваемого циклического процесса: \(1 \to 2\): подъем пробирки, описываемый уравнением (23); \(2 \to 3\): отключение внешнего устройства; \(3 \to 4\): опускание пробирки; \(4 \to 1\): подключение внешнего устройства.

3.3 Из построенного графика следует, что работа совершенная подъемником равна

\[A = \frac{1}{4} \rho g S l^2\tag{24}\]

3.4 Подъемник совершает полезную работу за счет того, что вода выливается через зазор между пробиркой и горлышком бутылки. Объем вытекшей за цикл воды равен половине объема пробирки, т.е. \(\frac{1}{2} S l\). Чтобы подъемник работал необходимо, чтобы уровень воды в бутылке превышал длину пробирки \(l\). Поэтому минимальная высота, с которой должна выливаться вода также равна \(l\). Следовательно, изменение ее потенциальной энергии равно \(\Delta U = \frac{1}{2} \rho g S l^2\). Разумно определить КПД как отношение полезной работы к затраченной энергии. В этом случае КПД оказывается равным \(\eta = \frac{A}{\Delta U} = 50\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.