Задачи › Вязкость, течение вязкой жидкости

Песочные часы

  1. Песочные часы

    ВсОШ 2014/15, 9 кл.
    6/10
    Рисунок

    Часть 1. Масса песка.

    1.1. (1 балл) Исследуйте, зависит ли массовый расход \(\mu\) (кг/с) песка в песочных часах от высоты \(h\) столба песка в верхней колбе (рис. 1). Сделайте вывод.

    1.2. (4 балла) Определите массу \(m\) песка внутри песочных часов. Обратите внимание на то, что колбы песочных часов имеют разную длину. Колбы часов можно считать цилиндрическими.

    Внимание! Следует аккуратно обращаться с песочными часами, не сломать узкую горловину, соединяющую верхнюю и нижнюю колбы. Пластмассовые опоры снимать можно. За поломку колбы часов снимается 5 баллов и новые часы не выдаются!

    Часть 2. Скорость хода часов. В этой части эксперимента вы работаете с моделью песочных часов, собранных вами.

    2.1. (2 балла) Предположим, что массовый расход песка \(\mu\) зависит только от его плотности \(\rho\), ускорения свободного падения \(g\), высоты \(h\) столба песка и разности \((D - d)\), где \(D\) — диаметр отверстия в пробке, \(d\) — параметр, зависящий от свойств песка, \(C\) — безразмерная константа. Методом размерностей и по результатам предыдущего опыта определите коэффициенты \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) в формуле \[\mu = C\rho^{\alpha}g^{\beta}h^{\gamma}(D-d)^{\delta}.\]

    2.2. (3 балла) Снимите зависимость массового расхода \(\mu\) (мг/с) песка, высыпающегося из отверстия в пробке бутылки, от диаметра отверстия \(D\). Так как эксперимент может оказаться продолжительным, то для проверки воспроизводимости достаточно трижды повторить опыт по измерению массового расхода \(\mu\) только для отверстия диаметром \(D = 3\) мм. Определите наибольшее отклонение от среднего значения.

    2.3. (4 балла) Определите значение параметра \(d\).

    2.4. (1 балл) Оцените погрешность \(d\).

    Внимание! Будьте аккуратны и не рассыпайте песок мимо ёмкости.

    Оборудование. Песочные часы, миллиметровая бумага, секундомер, весы (до 200 г), брусок, пластмассовая бутылка без дна, пластиковые крышки от бутылок с отверстиями различного диаметра (3; 4; 5; 6) мм, 2 прямоугольные ёмкости для песка (одна из них с песком), деревянный штатив.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для 1.2 используйте два измерения на весах с часами, лежащими горизонтально на опорах разной высоты, и условие равновесия моментов. Для 2.1 сравните размерности величин: массы, времени и длины.

    Ответ

    1.1) массовый расход от высоты \(h\) не зависит;  1.2) \(m = 2(m_1 + m_2 - m_0)\), где \(m_0\) — масса часов вместе с песком, \(m_1\) и \(m_2\) — показания весов в двух измерениях;  2.1) \(\alpha = 1\), \(\beta = \dfrac{1}{2}\), \(\gamma = 0\), \(\delta = \dfrac{5}{2}\), то есть \(\mu = C\rho g^{1/2}(D-d)^{5/2}\);  2.2) наибольшее отклонение от среднего около 5 %;  2.3) \(d \approx 0{,}56\) мм.

    Решение

    1.1. Расположим часы вертикально и пересыпем весь песок в одну половину часов. Перевернём часы и засечём время \(t_1\), за которое песок высыплется из верхней колбы, когда высота столба максимальна. Затем быстро перевернём часы и измерим время \(t_2\), за которое песок высыплется обратно, когда высота столба во много раз меньше. Времена равны в пределах погрешности, значит массовый расход от высоты не зависит.

    1.2. Пересыпем весь песок в одну половину часов и расположим часы горизонтально, так чтобы поверхность песка была горизонтальной. Поставим часы одной опорой на весы, другой на брусок (измерение 1), затем пересыпем песок в другую колбу и повторим измерение (измерение 2). Обозначим \(m_0\) — массу часов вместе с песком, \(m\) — массу песка, \(m_1\) и \(m_2\) — показания весов в измерениях 1 и 2. Записав уравнения моментов сил для обоих измерений и сложив их, получим \[(m_1 + m_2)(l_1 + l_2) = \tfrac{3}{2}\,m\,(l_1 + l_2) + (m_0 - m)(l_1 + l_2),\] где \(l_1\) и \(l_2\) — длины колб. Отсюда \(m = 2(m_1 + m_2 - m_0)\).

    2.1. В пункте 1.1 установлено, что массовый расход от высоты не зависит, значит \(\gamma = 0\). Размерности: \([g] = \text{м/с}^2\), \([D-d] = \text{м}\), \([\rho] = \text{кг/м}^3\), \([\mu] = \text{кг/с}\). Размерность времени входит только в \(g\), отсюда \(\beta = 1/2\). Размерность массы входит только в \(\rho\), отсюда \(\alpha = 1\). Чтобы размерность длины была правильной, \(\delta = 5/2\), значит \[\mu = C\rho\, g^{1/2}(D-d)^{5/2}.\]

    2.2. Для наименьшего диаметра \(D = 3\) мм проводим несколько измерений с помощью секундомера и весов и усредняем. Разброс значений от среднего примерно 5 %, поэтому расходы при остальных диаметрах можно находить по одной точке. Результаты из официального решения (второй столбец — \(\mu^{2/5}\)): \[D = 3~\text{мм}:\ \mu = 0{,}73,\ \mu^{2/5} = 0{,}88; \qquad D = 4~\text{мм}:\ \mu = 1{,}67,\ \mu^{2/5} = 1{,}23;\] \[D = 5~\text{мм}:\ \mu = 2{,}83,\ \mu^{2/5} = 1{,}52; \qquad D = 6~\text{мм}:\ \mu = 4{,}86,\ \mu^{2/5} = 1{,}88.\]

    2.3. Линеаризуем зависимость из п. 2.1: \(\mu^{2/5}\) пропорционально \((D-d)\). График \(\mu^{2/5}(D)\) пересекает ось абсцисс при \(D = d\). По графику \(d = 0{,}56\) мм.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх