Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, текущую вдоль длинной узкой цилиндрической трубки. Если при движении слои жидкости не перемешиваются (рис. 1), а малые выделенные объёмы жидкости движутся прямолинейно, то данное течение жидкости называют ламинарным . Для ламинарного течения известны уравнения, достаточно точно описывающие движение жидкости. При превышении скоростью некоторой критической величины течение становится неустойчивым. В среде образуются вихри, а линии тока становятся нестационарными (рис. 2). Такое движение называют турбулентным . Его удаётся описывать только приближённо. В данном эксперименте вам предлагается исследовать течение жидкости под действием различных давлений, обработать результаты эксперимента в предположении, что течение ламинарно, и в конце выяснить, верно ли данное предположение. Предложите способ, с помощью которого можно снять зависимость расхода \(Q\) масла (объём жидкости, протекающей через сечение трубки в единицу времени) через иглу шприца от разн

3) \(\eta \approx 0{,}3\ \text{Па}\cdot\text{с}\); 4) \(\mathrm{Re} < 1 \ll \mathrm{Re}_{\text{кр}}\); 5) \(l_{\text{уст}} = 0{,}2\,r\,\mathrm{Re} \ll L\); 6) течение масла ламинарно, предположение верно.

Вязкость масла — ВсОШ 2009/10, 11 кл., задача 1

Вязкость масла
ВсОШ 2009/10, 11 кл.
6/10
Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, текущую вдоль длинной узкой цилиндрической трубки. Если при движении слои жидкости не перемешиваются (рис. 1), а малые выделенные объёмы жидкости движутся прямолинейно, то данное течение жидкости называют ламинарным.

Для ламинарного течения известны уравнения, достаточно точно описывающие движение жидкости. При превышении скоростью некоторой критической величины течение становится неустойчивым. В среде образуются вихри, а линии тока становятся нестационарными (рис. 2). Такое движение называют турбулентным. Его удаётся описывать только приближённо.

В данном эксперименте вам предлагается исследовать течение жидкости под действием различных давлений, обработать результаты эксперимента в предположении, что течение ламинарно, и в конце выяснить, верно ли данное предположение.
1. Предложите способ, с помощью которого можно снять зависимость расхода \(Q\) масла (объём жидкости, протекающей через сечение трубки в единицу времени) через иглу шприца от разности давлений \(\Delta p = p_2 - p_1\) на концах иглы.
Подсказка. При заполнении шприца маслом оставьте внутри него некоторое количество воздуха.
1. Используя предложенный вами способ, снимите зависимость \(Q(\Delta p)\) при нескольких значениях разности давлений (не менее 4 точек). Старайтесь при этом выбирать давления так, чтобы диапазон разности давлений был максимальным из доступных, а точки в этом диапазоне были распределены достаточно равномерно.
Если течение окажется ламинарным, то его можно будет описать с помощью формулы Пуазейля: \[Q = \frac{\pi r^4}{8\,\eta L}\,\Delta p.\] где \(\eta\) — вязкость жидкости, \(L\) — длина иглы шприца, \(r\) — внутренний радиус иглы.
1. По полученным в предыдущем пункте данным постройте график зависимости расхода от разности давлений. Используя формулу Пуазейля, найдите вязкость масла.
Для выяснения, является ли течение жидкости ламинарным, используют так называемое число Рейнольдса \(\mathrm{Re}\). По определению: \[\mathrm{Re} = \frac{\rho v r}{\eta}.\] где \(\rho\) — плотность жидкости, \(v\) — средняя скорость её течения.

В случае движения жидкости по цилиндрической трубе критическое значение числа Рейнольдса, при котором течение уже нельзя считать ламинарным, равно \(\mathrm{Re}_{\text{кр}} = 1200\).
1. Вычислите число Рейнольдса для вашего эксперимента. Сравнив его с \(\mathrm{Re}_{\text{кр}}\), определите характер течения жидкости в игле шприца.
На концах трубки (там, где жидкость только входит в цилиндрическую полость иглы) течение весьма неоднородно. Расстояние от края иглы, на котором оно устанавливается и становится ламинарным, называется \(l_{\text{уст}}\). Формула Пуазейля выведена для ламинарного течения по длинной трубе. Если оказывается, что \(l_{\text{уст}} \ll L\), где \(L\) — длина иглы шприца, то краевыми неоднородностями можно пренебречь, и использование формулы Пуазейля оправдано.
1. Для иглы \(l_{\text{уст}} = 0{,}2\,r\,\mathrm{Re}\). Определите \(l_{\text{уст}}\) для вашего эксперимента и сравните его с \(L\).
2. Теперь, используя все полученные результаты, сделайте вывод о том, верно ли предположение, что течение масла ламинарно.
Оборудование. Шприц (внутренний диаметр иглы \(d = 0{,}6\) мм), сосуд с маслом, секундомер, бумажные салфетки (для поддержания рабочего места в чистоте), лист миллиметровой бумаги, пластиковая бутылка.

ВНИМАНИЕ! Аккуратно обращайтесь со шприцем, чтобы не пораниться острой иглой.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Воздух в шприце сжимается при почти неизменной температуре: какая связь между давлением и объёмом воздуха в этом случае? Как подобрать объём воздуха, чтобы перепад давлений на игле был заданным?
Ответ
3) \(\eta \approx 0{,}3\ \text{Па}\cdot\text{с}\); 4) \(\mathrm{Re} < 1 \ll \mathrm{Re}_{\text{кр}}\); 5) \(l_{\text{уст}} = 0{,}2\,r\,\mathrm{Re} \ll L\); 6) течение масла ламинарно, предположение верно.
Решение
Для того, чтобы поддерживать постоянную разность давлений, предлагается следующий способ. Шприц заполняется воздухом на \(V_{\text{возд}} = 20\) мл (разметка на шприце может быть на меньшие объёмы, но с помощью миллиметровой бумаги вы можете сделать шкалу с большим пределом измерения). Со шприца снимается игла, набирается \(V_{\text{масла}} = 4\) мл масла и игла надевается обратно, при этом шприц всё время должен находиться в вертикальном положении (чтобы масло не растеклось по стенкам, и потом не пришлось бы долго ждать, пока оно стечёт обратно).

При сжатии воздуха внутри шприца на \(\Delta V_{\text{возд}}\) воздух слегка нагревается, и давление масла увеличивается от \(p_0\) до \(p\), где \(p_0\) — атмосферное давление. Можно считать, что время установления комнатной температуры воздуха в шприце намного меньше времени процесса измерений, и поэтому выполняется закон Бойля–Мариотта: \[p_0 V_{\text{возд}} = p\,(V_{\text{возд}} - \Delta V_{\text{возд}}), \qquad \text{откуда} \qquad p = \frac{p_0 V_{\text{возд}}}{V_{\text{возд}} - \Delta V_{\text{возд}}}.\]

Масло вытекает медленно (около 2–4 минут). Всё это время необходимо подвигать поршень, чтобы объём воздуха, находящегося в шприце, не изменялся. При этом разность давлений на концах иглы \[\Delta p = p - p_0 = \frac{p_0\,\Delta V_{\text{возд}}}{V_{\text{возд}} - \Delta V_{\text{возд}}}.\]

Продолжительность вытекания подобрана большой, что позволяет уменьшить ошибку, связанную с определением времени (около 5 с). При временах вытекания масла 200 с эта ошибка несущественна. Данный метод позволяет определить время вытекания масла при давлениях порядка 1 атм в широком диапазоне \(0{,}2\,p_0 - 4\,p_0\).

Расход рассчитывается по формуле \(Q = \Delta V_{\text{масла}}/\tau\), где \(\tau\) — время вытекания масла.

Из графика \(Q(\Delta p)\) видно, что экспериментальные точки ложатся на прямую, а коэффициент наклона \(k = \dfrac{\Delta Q}{\Delta p}\). Тогда вязкость высчитывается по итоговой формуле: \[\eta = \frac{\pi r^4}{8kL} \approx 0{,}3\ \text{Па}\cdot\text{с}.\]

Для данной ситуации \(\mathrm{Re} < 1 \ll \mathrm{Re}_{\text{кр}}\) и \(l_{\text{уст}} = 0{,}2\,r\,\mathrm{Re} \ll L\). Таким образом, наше предположение о ламинарности течения было верным.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Вязкость масла

Вязкость масла

Похожие задачи