Сифон

Расход воды в трубке пропорционален разности давлений на её концах. Напишите дифференциальное уравнение для изменения объёма и найдите, когда разность давлений постоянна (линейная зависимость), а когда меняется (экспонента).

1.1) \(l=35{,}0\) см; 1.2) \(b_0=9{,}00\cdot10^{-2}\) см/мл, \(b_1=3{,}15\cdot10^{-2}\) см/мл; 2.1.3) \(V(t)=K(l+h_2-h_1)\,t\); 2.1.4) \(K=(3{,}27\pm0{,}03)\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с); 2.2.4) \(K=(3{,}38\pm0{,}06)\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с), среднее \(3{,}33\cdot10^{-2}\); 2.3.3) зависимость нелинейна: \(a=1{,}34\pm0{,}03\) и \(1{,}27\pm0{,}02\) мл/с; 3.2) \(V+V^*=(V_0+V^*)e^{-b_0Kt}\), \(Y=\ln(V+V^*)\); 3.4) \(K=-a/b_0\approx2{,}32\cdot10^{-2}\).

Что происходит. Вода вытекает из бутылки только через тонкую стеклянную трубку, и её расход подчиняется закону Пуазейля \(q=K\,\Delta P\), где \(\Delta P\) — движущая разность давлений на трубке в сантиметрах водяного столба. Шланг — воздушный канал: его верхний конец внутри бутылки открыт в атмосферу (в опытах 2.1 и 2.2 пузырьки воздуха входят именно через него). Главная идея: в каждом положении трубки и шланга выяснить, чему равна \(\Delta P\) и как она меняется при вытекании, а затем подставить \(q=K\Delta P\) и получить \(V(t)\).

Обозначения. \(l\) — длина трубки; \(h_1\), \(h_2\) — высоты верхних концов шланга и трубки над нижним краем пробки; \(z\) — высота уровня воды над тем же краем, \(z_0\) — её начальное значение; \(V\) — объём вытекшей воды; \(p_0\) — атмосферное давление. Данных измерений в условии нет: опыт ставит сам ученик. Ниже обработка показана на условных данных (числа примера организаторов), поэтому цифры — пример, а формулы и ход решения — общие.

Часть 1. Предварительные измерения.

1.1 Линейкой измеряем трубку по всей длине: \(l=35{,}0\) см (пример).

1.2 Параметр \(b\) — высота столбика воды объёмом 1 мл, то есть \(b=\Delta z/\Delta V\). Для мензурки измеряем линейкой расстояние между двумя метками шкалы, объёмы которых различаются на \(\Delta V=200\) мл (например, 50 и 250 мл): \(\Delta z=18{,}0\) см, отсюда \[b_0=\frac{\Delta z}{\Delta V}=\frac{18{,}0}{200}=9{,}00\cdot10^{-2}\ \frac{\text{см}}{\text{мл}}.\] Для бутылки доливаем в частично заполненную бутылку воду, отмеряя её мензуркой, и измеряем линейкой, на сколько поднялся уровень: на \(\Delta V=400\) мл — на \(\Delta z=12{,}6\) см, \[b_1=\frac{12{,}6}{400}=3{,}15\cdot10^{-2}\ \frac{\text{см}}{\text{мл}}.\] Непосредственно измерены длины и объёмы, внутренние диаметры не нужны. Измерение берём на цилиндрической части бутылки, где сечение постоянно.

Часть 2. Вытекание из бутылки.

Опыты 2.1 и 2.2: шланг и трубка под водой. В бутылке вода течёт медленно, поэтому давление в ней распределено так же, как в покоящейся воде: оно растёт вниз на 1 см вод. ст. на каждый сантиметр глубины. Воздух входит в бутылку только через верхний конец шланга, поэтому именно на его уровне давление воды равно \(p_0\) (точка \(A\)). Конец трубки \(B\) лежит на \(h_1-h_2\) ниже точки \(A\), поэтому там давление выше атмосферного на \(h_1-h_2\) см вод. ст. (при \(h_2>h_1\) — ниже). Выход \(C\) открыт в атмосферу, давление \(p_0\). На воду в трубке действует ещё и её вес: трубка вертикальна, длина воды в ней — \(l\). Движущая разность давлений равна \[\Delta P=(h_1-h_2)+l=l+h_1-h_2.\] Это то же, что высота точки \(A\) над выходом \(C\): в обеих точках давление атмосферное, значит, вся разность высот «работает» на трубке.

Уровень \(z\) в \(\Delta P\) не входит, пока верхние концы шланга и трубки под водой. Значит, расход постоянен, и вытекание идёт равномерно: \(V=K(l+h_1-h_2)\,t\).

Обратите внимание. Условие «концы под водой» должно выполняться до конца опыта: уровень падает на \(200\,b_1=6{,}3\) см, поэтому нужно \(z_0>\max(h_1,h_2)+6{,}3\) см — не менее 16,3 см в опыте 2.1 и 17,3 см в опыте 2.2 (в примере организаторов \(z_0=15{,}0\) см, и тогда последние миллилитры вытекают уже по закону п. 2.3, но на графике это почти не видно). Если шланг выйдет из воды раньше, \(\Delta P\) начнёт убывать и прямая загнётся.

2.1.1 \(z_0>h_1+200\,b_1=10{,}0+6{,}3=16{,}3\) см (в примере 15,0 см).

2.1.2 Данные опытов (условные) — в таблице; \(t\) — по секундомеру с памятью, показания через каждые 20 мл.

\[\begin{array}{|r|r|r|r|} \hline V,\ \text{мл} & t_{2.1},\ \text{с} & t_{2.2},\ \text{с} & t_{2.3},\ \text{с}\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline 20 & 13,64 & 23,23 & 13,13 \\\hline 40 & 27,41 & 45,38 & 28,47 \\\hline 60 & 41,54 & 68,6 & 43,71 \\\hline 80 & 55,37 & 91,28 & 58,75 \\\hline 100 & 69,4 & 113,96 & 74,21 \\\hline 120 & 83,02 & 137,32 & 89,75 \\\hline 140 & 97,64 & 160,07 & 105,41 \\\hline 160 & 111,13 & 182,37 & 120,68 \\\hline 180 & 124,47 & 204,78 & 136,78 \\\hline 200 & 138,31 & 226,76 & 153,44 \\\hline \end{array}\] Метод наименьших квадратов для \(V=at+b\) по точкам опыта 2.1 даёт \(a=(1{,}442\pm0{,}003)\) мл/с, \(b=0{,}14\pm0{,}24\) мл. Свободный член не отличается от нуля (в пределах погрешности), поэтому зависимость — пропорциональность: \[V=at,\qquad a=(1{,}442\pm0{,}003)\ \text{мл/с},\quad \varepsilon_a=0{,}2\,\%.\] Для опыта 2.2: \(a=(0{,}880\pm0{,}002)\) мл/с, \(b=-0{,}30\pm0{,}23\) мл — тоже нуль.

2.1.3 Из \(q=dV/dt=K\Delta P\) при постоянной \(\Delta P\): \[V(t)=K\,(l+h_1-h_2)\,t.\]

2.1.4 Коэффициент наклона \(a=K(l+h_1-h_2)\), отсюда \(K=a/(l+h_1-h_2)\). Здесь \(l+h_1-h_2=35{,}0+10{,}0-1{,}0=44{,}0\) см, и \[K=\frac{1{,}442}{44{,}0}=3{,}28\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\] Погрешность. Три отсчёта по линейке (\(l\), \(h_1\), \(h_2\)), каждый \(\pm0{,}2\) см, дают для \(\Delta P\) погрешность \(0{,}2\sqrt3\approx0{,}4\) см, то есть \(0{,}9\,\%\). Погрешность \(a\) меньше (\(0{,}2\,\%\)), поэтому \[\varepsilon_K=\sqrt{0{,}9^2+0{,}2^2}\,\%\approx0{,}9\,\%,\qquad K=(3{,}28\pm0{,}03)\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\]

2.2.1 \(z_0>h_2+200\,b_1=11{,}0+6{,}3=17{,}3\) см (в примере 15,0 см).

2.2.2 Результаты — второй столбец таблицы, график — на одном рисунке с опытом 2.1.

2.2.3 Теперь \(h_1<h_2\), а формула та же: давление у верхнего конца трубки ниже атмосферного на \(h_2-h_1\), но \(\Delta P=l+h_1-h_2=35{,}0+2{,}0-11{,}0=26{,}0\) см всё равно положительна и постоянна: \[V(t)=K\,(l+h_1-h_2)\,t.\]

2.2.4 \(K=a/(l+h_1-h_2)=0{,}880/26{,}0=3{,}38\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с). Погрешность \(\Delta P\) та же, \(0{,}4\) см, но относительная больше (\(1{,}5\,\%\)), поэтому \(\varepsilon_K\approx1{,}5\,\%\) и \[K=(3{,}38\pm0{,}05)\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\]

2.2.5 Разность \(3{,}38-3{,}28=0{,}10\) (в единицах \(10^{-2}\)) меньше удвоенной суммарной погрешности \(2\sqrt{0{,}03^2+0{,}05^2}\approx0{,}12\), поэтому значения можно считать равными. Дальше используем среднее \[K=3{,}33\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\]

Опыт 2.3: шланг над водой. Верхний конец шланга теперь в воздухе над водой, воздух над поверхностью соединён шлангом с атмосферой, давление на поверхности воды равно \(p_0\) (точка \(A\) лежит на поверхности). Давление у верхнего конца трубки выше атмосферного на \(z-h_2\), и \[\Delta P=(z-h_2)+l=z+l-h_2.\] Теперь \(\Delta P\) зависит от \(z\), а \(z\) убывает по мере вытекания.

2.3.1 Нужно, чтобы после вытекания 200 мл уровень остался выше трубки: \(z_0>h_2+200\,b_1=5{,}0+6{,}3=11{,}3\) см, и шланг (его верхний конец при \(h_1=16{,}0\) см) остался над водой: \(z_0<h_1\). В примере \(z_0=14{,}5\) см, \(h_1=16{,}0\) см, \(h_2=5{,}0\) см.

2.3.2 Результаты — третий столбец таблицы; график — слева на рисунке ниже. Из-за малой кривизны на таком графике зависимость выглядит как прямая.

2.3.3 Метод наименьших квадратов по точкам каждого участка даёт \[\begin{aligned}a_1&=(1{,}34\pm0{,}02)\ \text{мл/с}\quad (0\text{--}100\ \text{мл}),\\ a_2&=(1{,}27\pm0{,}01)\ \text{мл/с}\quad (100\text{--}200\ \text{мл}).\end{aligned}\] Разность \(0{,}07\) мл/с больше суммы погрешностей, поэтому наклон убывает, и зависимость нелинейна. Это ожидаемо: расход пропорционален \(\Delta P\), а \(\Delta P\) убывает.

2.3.4 Выразим \(z\) через \(V\): объём воды в бутылке уменьшился на \(V\), поэтому \(z=z_0-b_1V\). Тогда \[\frac{dV}{dt}=K(z+l-h_2)=K(z_0+l-h_2-b_1V)=b_1K\,(V_*-V),\] где \(V_*=(z_0+l-h_2)/b_1\). Решение этого уравнения (то же, что в математической подсказке, но для величины \(V_*-V\)): \(V=V_*\bigl(1-e^{-b_1Kt}\bigr)\). На коротком участке экспоненту можно считать прямой, наклон равен расходу при среднем уровне: \[a=K\bigl(\bar z+l-h_2\bigr),\qquad \bar z=z_0-b_1\langle V\rangle,\qquad K=\frac{a}{\bar z+l-h_2}.\] Для участка 0–100 мл \(\langle V\rangle=50\) мл, \(\bar z=14{,}5-3{,}15\cdot10^{-2}\cdot50=12{,}9\) см, \(K=\dfrac{1{,}34}{12{,}9+35{,}0-5{,}0}=3{,}1\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с). Для участка 100–200 мл \(\langle V\rangle=150\) мл, \(\bar z=9{,}8\) см, \(K=\dfrac{1{,}27}{9{,}8+30{,}0}=3{,}2\cdot10^{-2}\) мл/(см\(\cdot\)с).

Часть 3. Всасывание.

Что происходит. Шланг теперь работает как сифон: он целиком заполнен водой и перекачивает воду из мензурки в бутылку, а из бутылки вода уходит через ту же трубку. Шланг широкий, его сопротивлением пренебрегаем, поэтому вся разность давлений приходится на трубку. Мензурка опускается по мере убыли воды, и движущая высота уменьшается.

Пусть \(z\) — высота воды в мензурке над её дном, где лежит конец шланга. Дно мензурки на \(h_4\), а выход трубки на \(h_3\) ниже нижнего края пробки. Точки \(M\) (поверхность воды в мензурке) и \(C\) (выход) открыты в атмосферу, давление в них \(p_0\), так что движущая высота равна разности их высот: \[H=z+h_3-h_4.\] Проверим на давлениях. Вода в бутылке и в шланге течёт медленно, поэтому давление в ней распределено как в покоящейся воде, и давление в верхней точке трубки \(B\) (высота \(h_2\)) равно \(p_0+(z-h_4-h_2)\), потому что поверхность \(M\) на \(z-h_4\) выше нижнего края пробки. С учётом веса воды в трубке (\(l=h_2+h_3\)) разность давлений на трубке \(z-h_4-h_2+h_2+h_3=z+h_3-h_4\).

3.2 Уровень в мензурке пропорционален объёму: \(z=b_0V\). Объём в мензурке убывает с расходом \(q=KH\): \[\frac{dV}{dt}=-K\bigl(b_0V+h_3-h_4\bigr)=-b_0K\,(V+V_*),\qquad V_*=\frac{h_3-h_4}{b_0}.\] Численно \(V_*=8{,}5/(9{,}00\cdot10^{-2})=94{,}4\) мл. Для величины \(X=V+V_*\) получили \(dX/dt=-b_0K\,X\) — уравнение (1) из подсказки, поэтому \[V(t)+V_*=(V_0+V_*)\,e^{-b_0Kt}.\] Объём \(V_*\) соответствует высоте \(h_3-h_4\) в мензурке (\(b_0V_*=h_3-h_4\)): даже в пустой мензурке остаётся движущая высота \(h_3-h_4\), и вода течёт, пока не кончится.

Обратите внимание. Объём погружённой части шланга учитывать не нужно: шкала мензурки определяет уровень, а \(b_0\) получено по той же шкале. Погружённый шланг уменьшает объём воды на единицу высоты лишь на несколько процентов, это меньше погрешностей опыта.

3.1 Условные данные: \(h_1=5{,}0\) см, \(h_2=3{,}0\) см, \(h_3=32{,}0\) см, \(h_4=23{,}5\) см (\(h_3-h_4=8{,}5\) см). Мензурка заполнена до \(V_0=250\) мл, показания времени — через каждые 20 мл. Столбец \(Y\) рассчитан по п. 3.3.

\[\begin{array}{|r|r|r|} \hline V,\ \text{мл} & t,\ \text{с} & Y=\ln(V+V^*)\\\hline 250 & 0,00 & 5,842 \\\hline 230 & 27,90 & 5,782 \\\hline 210 & 59,16 & 5,718 \\\hline 190 & 91,06 & 5,651 \\\hline 170 & 125,44 & 5,578 \\\hline 150 & 162,98 & 5,499 \\\hline 130 & 203,49 & 5,414 \\\hline 110 & 247,59 & 5,320 \\\hline 90 & 296,95 & 5,217 \\\hline 70 & 352,39 & 5,103 \\\hline 50 & 418,27 & 4,973 \\\hline \end{array}\]

3.3 Линеаризующая функция следует из п. 3.2: \[\ln(V+V_*)=\ln(V_0+V_*)-b_0K\,t,\qquad Y=\ln(V+V_*).\] Значения \(Y\) внесены в таблицу. Графики — на рисунке: слева \(V(t)\) (линия — формула п. 3.2 с найденным ниже \(K\)), справа линеаризованный \(Y(t)\) — прямая.

3.4 Метод наименьших квадратов даёт \(Y=5{,}840+at\), \(a=-(2{,}09\pm0{,}01)\cdot10^{-3}\) с\(^{-1}\). Наклон равен \(-b_0K\), поэтому \[K=-\frac{a}{b_0}=\frac{2{,}09\cdot10^{-3}}{9{,}00\cdot10^{-2}}=2{,}32\cdot10^{-2}\ \frac{\text{мл}}{\text{см}\cdot\text{с}}.\] Постоянная времени \(1/(b_0K)\approx480\) с.

Вся физика опыта — правильно найти движущую разность давлений: для этого достаточно двух точек, где давление равно атмосферному.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.