Фотоэлемент

Фотоэлемент ведёт себя как источник с внутренним сопротивлением, которое убывает с ростом тока; мощность в нагрузке максимальна при сопротивлении нагрузки, равном внутреннему сопротивлению элемента.

1) \(I=\dfrac UR\), \(P=UI\); 5) при \(r\approx a/I\) напряжение \(U=\varepsilon-Ir\approx\varepsilon-a\) почти не зависит от тока; 7) мощность максимальна при \(R\approx10\) кОм «днём» и при \(R\approx18\) кОм «вечером».

Что происходит. Освещённый фотоэлемент — не батарейка с постоянной ЭДС, а источник, у которого сила тока почти постоянна, пока напряжение мало, а затем быстро падает: избыток тока уходит через \(p\)–\(n\) переход, который работает как диод. Поэтому нагрузочная характеристика \(U(I)\) состоит из почти вертикального участка (малые \(R\)) и почти горизонтального (большие \(R\)) с изгибом между ними. Мощность на нагрузке максимальна у изгиба. Главная идея: свет задаёт ток \(I_{\text{ф}}\), а диод — форму изгиба; при уменьшении освещённости изгиб сдвигается к большим сопротивлениям.

Обозначения. \(R\) — сопротивление резистора (омметр), \(U\) — напряжение на нём (вольтметр), \(I\) — сила тока в цепи, \(P\) — мощность на резисторе. Данных измерений в условии нет: опыт ставит сам ученик, ниже обработка показана на данных примера организаторов, то есть числа — пример, ход и формулы — общие.

1. Резистор и фотоэлемент соединены последовательно через ключ, вольтметр подключён параллельно резистору. Входное сопротивление мультиметра в режиме вольтметра (порядка мегаом) во много раз больше \(R\le27\) кОм, поэтому ток вольтметра можно не учитывать, и весь ток цепи идёт через резистор. По закону Ома для участка цепи и по формуле мощности \[I=\frac UR,\qquad P=UI=\frac{U^2}{R}.\] В выбранных единицах: \(I\,[\text{мкА}]=1000\,U\,[\text{В}]/R\,[\text{кОм}]\), \(P\,[\text{мкВт}]=U\,[\text{В}]\cdot I\,[\text{мкА}]\). Например, \(U=1{,}990\) В, \(R=20{,}60\) кОм: \(I=96{,}6\) мкА, \(P=192{,}2\) мкВт.

Обратите внимание. Сопротивление резистора измеряют омметром при разомкнутом ключе: омметр подаёт свой маленький ток, и при подключённом фотоэлементе он покажет не сопротивление резистора. Напряжение измеряют при замкнутом ключе, не меняя положения ручки после измерения \(R\).

2–3. Таблица измерений и расчётов (в столбцах № — способ включения резисторов: 1, 2 или 3 из условия). Для каждого измерения \(I\) и \(P\) вычислены по формулам п. 1. В таблице организаторов строки после 18-й в столбце «днём» повторяют начало таблицы, а часть строк «вечером» набрана дважды; здесь оставлены только различные измерения.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{5}{|c|}{\text{днём}}\\\hline \text{№} & U_0,\ \text{В} & R,\ \text{кОм} & I,\ \text{мкА} & P,\ \text{мкВт}\\\hline 1 & 1,990 & 20,60 & 96,6 & 192,2\\\hline 1 & 1,964 & 17,64 & 111,3 & 218,7\\\hline 1 & 1,937 & 16,02 & 120,9 & 234,2\\\hline 1 & 1,863 & 12,68 & 146,9 & 273,7\\\hline 1 & 1,815 & 11,92 & 152,3 & 276,4\\\hline 1 & 1,695 & 9,76 & 173,7 & 294,4\\\hline 1 & 1,540 & 8,18 & 188,3 & 289,9\\\hline 1 & 1,424 & 7,16 & 198,9 & 283,2\\\hline 1 & 1,275 & 6,21 & 205,3 & 261,8\\\hline 1 & 1,118 & 5,27 & 212,1 & 237,2\\\hline 1 & 0,939 & 4,39 & 213,9 & 200,8\\\hline 1 & 0,801 & 3,71 & 215,9 & 172,9\\\hline 1 & 0,691 & 3,19 & 216,6 & 149,7\\\hline 2 & 0,508 & 2,32 & 219,0 & 111,2\\\hline 2 & 0,398 & 1,82 & 218,7 & 87,0\\\hline 2 & 0,348 & 1,58 & 220,3 & 76,6\\\hline 2 & 0,278 & 1,26 & 220,6 & 61,3\\\hline 2 & 0,229 & 1,03 & 222,3 & 50,9\\\hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{5}{|c|}{\text{вечером}}\\\hline \text{№} & U_0,\ \text{В} & R,\ \text{кОм} & I,\ \text{мкА} & P,\ \text{мкВт}\\\hline 1 & 1,406 & 20,60 & 68,3 & 96,0\\\hline 1 & 1,383 & 19,97 & 69,3 & 95,8\\\hline 1 & 1,310 & 18,07 & 72,5 & 95,0\\\hline 1 & 1,248 & 16,64 & 75,0 & 93,6\\\hline 1 & 1,217 & 15,84 & 76,8 & 93,5\\\hline 1 & 1,173 & 15,06 & 77,9 & 91,4\\\hline 1 & 1,128 & 14,30 & 78,9 & 89,0\\\hline 1 & 1,083 & 13,66 & 79,3 & 85,9\\\hline 1 & 0,994 & 12,31 & 80,7 & 80,3\\\hline 1 & 0,960 & 11,91 & 80,6 & 77,4\\\hline 1 & 0,897 & 10,92 & 82,1 & 73,7\\\hline 1 & 0,777 & 9,38 & 82,8 & 64,4\\\hline 1 & 0,688 & 8,17 & 84,2 & 57,9\\\hline 1 & 0,614 & 7,34 & 83,7 & 51,4\\\hline 1 & 0,545 & 6,46 & 84,4 & 46,0\\\hline 1 & 0,496 & 5,92 & 83,8 & 41,6\\\hline 2 & 0,434 & 5,22 & 83,1 & 36,1\\\hline 2 & 0,396 & 4,76 & 83,2 & 32,9\\\hline 2 & 0,320 & 3,87 & 82,7 & 26,5\\\hline \end{array}\] 4. Нагрузочные характеристики — точки \((I,U)\) из таблицы, на одном рисунке для двух освещённостей. Линии — расчёт по модели из п. 5.

5. Качественно. Часть напряжения фотоэлемента «съедает» его собственное внутреннее сопротивление. Определим его как \(r(I)=(\varepsilon-U)/I\), где \(\varepsilon\) — напряжение разомкнутой цепи. Из рисунка видно, что \(r\) не постоянно и уменьшается с ростом тока: если \(r\approx a/I\), то \[U=\varepsilon-Ir\approx\varepsilon-a,\] то есть напряжение при малых токах почти не зависит от силы тока: пока \(R\) велико, фотоэлемент держит почти постоянное напряжение. При малых \(R\) напряжение на нагрузке мало, \(p\)–\(n\) переход почти закрыт, и сила тока перестаёт зависеть от \(R\): \(I\approx I_{\text{ф}}\) — ток, который создаёт свет. Тогда фотоэлемент — источник тока, \(U=IR\) растёт пропорционально \(R\).

Модель. Заменим фотоэлемент источником тока \(I_{\text{ф}}\) (он пропорционален освещённости), параллельно которому включены диод и сопротивление утечки \(R_{\text{ш}}\) (рисунок ниже). Ток нагрузки равен фототоку минус токи диода и утечки: \[I=I_{\text{ф}}-I_s\left(e^{U/U_T}-1\right)-\frac{U}{R_{\text{ш}}}.\] Здесь \(I_s\) — обратный ток насыщения диода, \(U_T\) — характерное напряжение \(p\)–\(n\) перехода (у панели из нескольких последовательных элементов оно в несколько раз больше \(kT/e\)). Решение относительно напряжения при \(I<I_{\text{ф}}\) даёт \[U\approx U_T\ln\frac{I_{\text{ф}}-I}{I_s},\] то есть логарифм: ток меняется на десятки процентов, а напряжение — на доли \(U_T\). Это и есть слабая зависимость при малых токах. При \(U\ll U_T\) экспонента близка к единице, диодный ток мал и \(I\approx I_{\text{ф}}-U/R_{\text{ш}}\) — практически постоянный ток. Подбор по точкам «днём» даёт \(I_{\text{ф}}\approx224\) мкА, \(U_T\approx0{,}25\) В, \(I_s\approx0{,}04\) мкА, \(R_{\text{ш}}\approx100\) кОм. Остальные точки «вечером» описываются теми же \(U_T\), \(I_s\), \(R_{\text{ш}}\) и одним новым параметром \(I_{\text{ф}}\approx91\) мкА (меньше света — меньше фототок); среднее отклонение расчёта от опыта около 2 мкА.

6. Графики \(P(R)\) — по значениям из таблицы (линии — та же модель).

7. «Днём» максимум мощности \(P\approx294\) мкВт приходится на \(R\approx10\) кОм (в примере — точка \(R=9{,}76\) кОм; расчёт по модели — \(9{,}0\) кОм, \(298\) мкВт). «Вечером» мощность растёт вплоть до конца диапазона и почти не меняется на участке 18–20{,}6 кОм (\(95\)–\(96\) мкВт); максимум — около \(18\)–\(20\) кОм (расчёт — \(20{,}5\) кОм, \(94\) мкВт).

Почему так. Мощность \(P=UI\) максимальна, когда \(dP/dI=U+I\,dU/dI=0\), то есть \[R=\frac UI=-\frac{dU}{dI}=r_d.\] Сопротивление нагрузки должно равняться дифференциальному внутреннему сопротивлению элемента \(r_d=-dU/dI\) — наклону нагрузочной характеристики (для источника с постоянными \(\varepsilon\) и \(r\) это обычное условие \(R=r\)). Штриховые прямые \(U=RI\) на рисунке к п. 4 проходят через точки изгиба: их наклоны \(9\) и \(20{,}5\) кОм. У изгиба \(dI/dU\) пропорционально \(I_{\text{ф}}-I\), то есть доле фототока, поэтому \(r_d\sim U_T/I_{\text{ф}}\), и при ослаблении света фототок падает, а \(r_d\) растёт обратно пропорционально \(I_{\text{ф}}\). Отношение фототоков \(224/91\approx2{,}5\), и сопротивление нагрузки в максимуме выросло примерно в 2,3 раза: с \(9\) до \(20\) кОм.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.