Вариоконденсатор

Заряд заполненного конденсатора нелинейно зависит от напряжения. Установившееся напряжение одинаково на обоих конденсаторах, а суммарный заряд сохраняется.

Пусть ёмкость воздушного конденсатора равна \(C_0\). Тогда его начальный заряд \(q_0=C_0U_0\). У конденсатора, заполненного диэлектриком, связь заряда с напряжением нелинейная: \(q=C(U)U=\dfrac{\varepsilon(U)\varepsilon_0S}{d}U=\dfrac32C_0\left(1+\dfrac{U}{U_0}\right)U\) (здесь учтено, что \(\dfrac{E}{E_0}=\dfrac{Ed}{E_0d}=\dfrac{U}{U_0}\)). За достаточно большое время после соединения напряжения на конденсаторах практически выровняются. Если заряд заполненного конденсатора при этом равен \(q\), то заряд воздушного равен \(q'=C_0U_0-q\), поэтому \(U=\dfrac{q'}{C_0}=U_0-\dfrac{q(U)}{C_0}=U_0-\dfrac32U\left(1+\dfrac{U}{U_0}\right)\Rightarrow\left(\dfrac{U}{U_0}\right)^2+\dfrac53\,\dfrac{U}{U_0}-\dfrac23=0\). Физический смысл имеет только положительный корень \(\dfrac{U}{U_0}=\dfrac13\), и \(q'=\dfrac13C_0U_0\) (отрицательный корень \(\dfrac{U}{U_0}=-2\) соответствует случаю, когда конденсатор в процессе разрядки меняет полярность пластин, и не согласуется с законом сохранения энергии). Значит, \(\dfrac{q'}{q_0}=\dfrac13\).