Испарение воды в трубке

Число молекул, попадающих на поверхность воды, найдите через концентрацию пара и среднюю скорость; испарение — разность потока «вылетающих» и «задерживаемых» молекул.

\(\Delta t=\dfrac{r\rho}{\eta(1-\varphi)P_0}\sqrt{\dfrac{2\pi RT}{\mu}}\approx250\) с.

11-2. Процесс испарения заключается в том, что часть молекул жидкости вылетает из ее поверхности. Непосредственно подсчитать количество таких молекул довольно трудно. Однако можно найти количество молекул, попадающих из пара в жидкость. Если жидкость и пар находятся в равновесии (а такой пар называется насыщенным), то количество молекул, покидающих поверхность жидкости, в среднем равно

количеству молекул, попадающих внутрь жидкости. Так как температура и парциальное давление насыщенного пара известны, то можно найти число молекул, попадающих на единицу площади поверхности в единицу времени. Действительно, число ударов молекул газа о площадь \(S\) поверхности за время \(\Delta t\) равно

\[N_0 = \frac{1}{4} n v_{\text{ср}} S \Delta t,\tag{1}\]

где \(n\) — концентрация молекул газа, \(v_{\text{ср}}\) — средняя скорость молекул. Из уравнения \(P = nkT\) можно получить \(n = \frac{P}{kT}\), а средняя скорость \(v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{8}{\pi} \frac{kT}{m}}\).

Из общего числа молекул, падающих на поверхность, только \(\eta = 0{,}04\) задерживается ею, поэтому число молекул, попадающих внутрь жидкости, а следовательно, вылетающих из нее, равно

\[N_1 = \eta N_0 = \frac{\eta P_0 S \Delta t}{\sqrt{2\pi k T m}}.\tag{2}\]

Так как, в данном случае, над жидкостью пар не насыщенный, то концентрация молекул пара меньше, и, по определению влажности \(\varphi\), \(n = \varphi n_0\), где \(n_0\) — концентрация молекул насыщенного пара. Тогда число молекул, попадающих внутрь жидкости, равно

\[N_2 = \frac{\eta \varphi P_0}{\sqrt{2\pi k T m}} S \Delta t.\tag{3}\]

Таким образом, за время \(\Delta t\) жидкость теряет \(N = N_1 - N_2\) молекул

\[N = \frac{\eta (1 - \varphi) P_0}{\sqrt{2\pi k T m}} S \Delta t.\tag{4}\]

Найдем на сколько изменяется масса жидкости

\[\Delta M = mN = \eta (1 - \varphi) P_0 S \Delta t \sqrt{\frac{m}{2\pi k T}},\]

а объем, соответственно, на

\[\Delta V = \frac{\Delta m}{\rho} = \frac{\eta (1 - \varphi) P_0}{\rho} S \Delta t \sqrt{\frac{m}{2\pi k T}}.\]

Так как площадь поверхности изменяется по мере высыхания, таким образом величина \(\Delta V\) не остается постоянной. Однако скорость

изменения высоты уровня жидкости в трубке \(\Delta h = \frac{\Delta V}{S}\) постоянна. Полное изменение высоты равно радиусу трубки \(r\). Поэтому

\[r = \frac{\eta(1-\varphi)P_0}{\rho} \Delta t \sqrt{\frac{\mu}{2\pi RT}},\]

где \(\mu\) — молярная масса воды, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения получим время испарения:

\[\Delta t = \frac{r\rho}{\eta(1-\varphi)P_0} \sqrt{\frac{2\pi RT}{\mu}} \approx 250\text{с}.\]

Отметим, что при решении этой задачи можно было использовать формулу для среднего числа ударов молекул о поверхность, приведенную в школьном учебнике (с коэффициентом 1/6) и вместо средней скорости пользоваться среднеквадратичной (также используемой в школьном курсе физики) - это не скажется существенно на оценке времени испарения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.