Вода в скороварке

После открывания клапана давление в скороварке упадёт, и вода будет кипеть, остывая при этом от \(T_1 = 120\,^\circ\)C до \(T_2 = 100\,^\circ\)C. Количество теплоты, необходимое для испарения, будет отниматься от остывающей воды. Пусть за малый промежуток времени испарилась небольшая масса воды \(\Delta m_i\), а температура воды при этом уменьшилась на \(\Delta T_i\). Тогда уравнение теплового баланса имеет вид: \[Cm_i\Delta T_i = L\Delta m_i,\] где \(m_i\) — масса воды, которая была в скороварке при испарении массы \(\Delta m_i\). Отсюда \[\Delta T_i = \dfrac{L}{C}\cdot\dfrac{\Delta m_i}{m_i},\] и \[\Delta T = T_1 - T_2 = \dfrac{L}{C}\sum_i\dfrac{\Delta m_i}{m_i}.\] Сумму в последней формуле можно точно вычислить при помощи интегрирования, а можно ограничиться лишь её оценкой. Пусть \(M_0 = 3\) кг — начальная масса воды в скороварке, \(M_{\text{ост}}\) — масса воды, оставшейся в скороварке после окончания процесса кипения. Заметим, что \(\sum\limits_i\Delta m_i = M_0 - M_{\text{ост}}\) — масса выкипевшей воды. Тогда \[T_1 - T_2 = \dfrac{L}{C}\sum_i\dfrac{\Delta m_i}{m_i} > \dfrac{L}{CM_0}\sum_i\Delta m_i = \dfrac{L}{C}\cdot\dfrac{M_0 - M_{\text{ост}}}{M_0},\] откуда \[M_{\text{ост}} > M_0\left(1 - \dfrac{C(T_1 - T_2)}{L}\right) \approx 2{,}886\text{ кг}.\] Это нижняя оценка для массы оставшейся в скороварке воды.

Аналогично можно получить для \(M_{\text{ост}}\) оценку сверху: \[T_1 - T_2 = \dfrac{L}{C}\sum_i\dfrac{\Delta m_i}{m_i} < \dfrac{L}{C}\cdot\dfrac{\sum_i\Delta m_i}{M_0 - \sum_i\Delta m_i} = \dfrac{L}{C}\cdot\dfrac{M_0 - M_{\text{ост}}}{M_{\text{ост}}},\] откуда \[M_{\text{ост}} < M_0\dfrac{L}{L + C(T_1 - T_2)} \approx 2{,}890\text{ кг}.\] Видно, что верхняя и нижняя оценки очень близки. Поэтому можно принять в качестве ответа среднее арифметическое из них: \(M_{\text{ост}} \approx 2{,}888\) кг. Следует отметить, что точный ответ \(M_{\text{точн}} \approx 2{,}8876\) кг, полученный при помощи интегрирования, отличается от найденной нами величины менее чем на \(0{,}02\%\).