Стержень с грузом и пружиной

Запишем условие устойчивого равновесия груза в проекции на ось \(X\), перпендикулярную стержню (см. рисунок): \[F_{\text{упр}}\cos(\alpha/2) \geqslant Mg\sin\alpha,\] где \(F_{\text{упр}} = k\cdot2l\sin(\alpha/2)\). При малых углах \(\alpha\) можно считать, что \(\cos\alpha \approx 1\), а \(\sin\alpha \approx \alpha\). Тогда \(F_{\text{упр}} \approx kl\alpha \geqslant Mg\alpha\), откуда максимальная масса груза \(M \approx kl/g\).

Задачу можно решать и из энергетических соображений. Для устойчивого равновесия необходимо, чтобы при отклонении стержня на малый угол \(\alpha\) потенциальная энергия растянутой пружины была не меньше величины уменьшения потенциальной энергии груза в поле силы тяжести: \[\dfrac{k(\alpha l)^2}{2} \geqslant Mgl(1 - \cos\alpha) \approx Mgl\dfrac{\alpha^2}{2},\] откуда получается то же самое ограничение на массу груза.