Эллипс четвёртого порядка

В положении равновесия вектор из центра в точку касания перпендикулярен касательной к кривой в этой точке; найдите касательную дифференцированием уравнения эллипса. Устойчивость определяется знаком производной момента.

1) \(\varphi=0\), \(\varphi=\pi/2\) и \(\varphi=\operatorname{arctg}\left(\dfrac ba\right)^2\);  3) \(\varphi=0\) и \(\varphi=\pi/2\) устойчивы, промежуточное положение неустойчиво.

1) Есть тривиальные положения \(\varphi=0\) и \(\varphi=\pi/2\). Кроме них, есть ещё одно положение между этими двумя. В равновесии вектор \(\vec r=(x,y)\) от начала координат к точке касания должен быть перпендикулярен касательной в этой точке. Чтобы найти касательную, продифференцируем формулу эллипса: \(4\dfrac{x^3}{a^4}dx+4\dfrac{y^3}{b^4}dy=0\), откуда при \(dx=1\), \(dy=-\dfrac{x^3}{y^3}\dfrac{b^4}{a^4}\) касательный вектор равен \(\vec\tau=\left[1,\,-\left(\dfrac xy\right)^3\left(\dfrac ba\right)^4\right]\). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \(x-y\left(\dfrac xy\right)^3\left(\dfrac ba\right)^4=0\), то есть \(\dfrac yx=\left(\dfrac ba\right)^2\), \(\varphi=\operatorname{arctg}\dfrac yx=\operatorname{arctg}\left(\dfrac ba\right)^2\).

2) Вокруг каждого нуля \(\varphi\) меняет знак. При \(\varphi=0\) небольшое увеличение \(\varphi\) приводит к моменту, стремящемуся вернуть цилиндр в исходное положение, то есть момент становится отрицательным. Поэтому график выглядит так, как показано ниже.

На рисунке: \(M\) — момент, по горизонтали \(\varphi\) с отмеченными \(0\), \(\varphi_0\), \(\pi/2\).

3) Если производная графика в точке равновесия отрицательна, положение устойчиво; в противном случае неустойчиво. Положения \(\varphi=0\) и \(\varphi=\pi/2\) устойчивы, \(\varphi=\left(\dfrac ba\right)^2\) неустойчиво.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.