Задачи › Магнитный поток

Магниты

  1. Магниты

    NBPhO 2003/04, заключительный этап, 11 кл. · №25711
    6/10PDF: условиес решением

    (6 баллов) Определённый тип магнитных игрушек состоит из ферромагнитных шаров и постоянных магнитов цилиндрической формы. Из этих деталей можно строить, например, тетраэдр, см. рисунок (буква «N» отмечает северный конец магнита). Считайте все эти постоянные магниты одинаковыми, и каждый из них в отдельности может создать магнитный поток \(\Phi\) (в предположении, что оба конца магнита касаются большого U-образного куска ферромагнитного материала, так что образуется замкнутый ферромагнитный контур). Считайте также, что вследствие высокой магнитной проницаемости материала деталей все линии магнитного поля заключены внутри них (то есть в окружающей среде магнитная индукция \(B=0\)).

    Рисунок

    1) Обозначим потоки в каждом постоянном магните (магниты A–F на рисунке) через \(\Phi_A\)–\(\Phi_F\). Запишите уравнение, связывающее \(\Phi_A\), \(\Phi_B\) и \(\Phi_C\) друг с другом (и, возможно, с \(\Phi\)) (1 балл).

    2) Запишите уравнение, связывающее \(\Phi_A\), \(\Phi_B\) и \(\Phi_F\) друг с другом (и, возможно, с \(\Phi\)) (1 балл).

    3) Найдите отношение \(\Phi_F/\Phi_C\) (1 балл).

    4) Найдите магнитные потоки в каждом постоянном магните (2 балла).

    5) Какой из магнитов оторвать труднее всего? Обоснуйте ответ (1 балл).

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Магнит эквивалентен поверхностному молекулярному току, поэтому для контура через три магнита работает теорема о циркуляции, а в каждой вершине поток сохраняется, потому что у линий поля нет источников.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(\Phi_A+\Phi_B+\Phi_C=3\Phi\);  2) \(\Phi_A=\Phi_B+\Phi_F\);  3) \(\Phi_F/\Phi_C=1\);  4) \(\Phi_A=\dfrac32\Phi\), \(\Phi_C=\Phi_F=\Phi\), \(\Phi_B=\Phi_D=\Phi_E=\dfrac12\Phi\);  5) магнит A.

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    1) Каждый постоянный магнит можно рассматривать как соленоидальный молекулярный ток на поверхности магнита. Пусть у каждого магнита суммарный поверхностный ток \(I\). Рассмотрим треугольный контур, проходящий внутри магнитов \(A\), \(B\), \(C\). По теореме о циркуляции для этого контура циркуляция \(B_Al+B_Bl+B_Cl\) пропорциональна полному молекулярному току сквозь контур: \(B_Al+B_Bl+B_Cl=3kI\). Здесь \(B_A\) — магнитная индукция внутри магнита \(A\); \(B_B\) и \(B_C\) определены аналогично. Для одиночного магнита, прижатого к массивному U-образному ферромагнетику, теорема о циркуляции даёт \(B_0l=kI\) (где \(B_0\) — магнитная индукция внутри магнита; вкладом в циркуляцию внутри массивного U-образного ферромагнетика можно пренебречь, потому что магнитное поле там гораздо меньше, чем внутри магнита). Итак, \(B_A+B_B+B_C=3B_0\) и \(\Phi_A+\Phi_B+\Phi_C=3\Phi\).

    2) У линий магнитного поля (а значит, и у потока) нет источников, поэтому \(\Phi_A=\Phi_B+\Phi_F\).

    3) В силу симметрии \(\Phi_F/\Phi_C=1\).

    4) Используя симметрию, \(\Phi_F=\Phi_C\) и \(\Phi_D=\Phi_B\). Из теоремы о циркуляции для треугольника \(CDE\): \(\Phi_C+\Phi_E-\Phi_B=\Phi\). Из условия отсутствия источников потока для вершины с магнитами \(E\), \(C\), \(B\) получаем \(\Phi_E=\Phi_C-\Phi_B\). Вместе с уравнениями из вопросов 1 и 2 получаем \(\Phi_A=\dfrac32\Phi\), \(\Phi_C=\Phi_F=\Phi\), \(\Phi_B=\Phi_D=\Phi_E=\dfrac12\Phi\).

    5) Чем больше поток, тем труднее оторвать магнит, потому что магнитный поток должен будет пройти через воздушный зазор, который образуется (увеличивая энергию магнитного поля) при начале отрывания. Поэтому ответ — «A».

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх