Объектив с наклоном и сдвигом
(6 баллов)
1) Покажите, что изображение прямой линии, создаваемое тонкой линзой, также является прямой линией. Рассматривайте только двумерную геометрию, то есть считайте, что главная оптическая ось и прямая лежат в одной плоскости \((x,y)\). Подсказка: используйте систему координат с началом в центре линзы и задавайте прямые алгебраически, например \(y=ax+b\). Воспользуйтесь формулой тонкой линзы \(f^{-1}=x^{-1}-x'^{-1}\) (\(x>0\) и \(x'\) — \(x\)-координаты точки и её изображения соответственно) (2 балла).
2) На рисунке (а) постройте изображение заданной прямой и укажите, какие части изображения мнимые, а какие действительные (2 балла).
На рисунке (а): focus — фокус, line — прямая.
3) Фотограф хочет сфотографировать поле цветов. Чтобы получить изображение, на котором все цветы (и близкие, и дальние) резкие, он должен использовать объектив с возможностью наклона и сдвига (tilt-shift, TS) (либо обычную камеру с TS-объективом, либо крупноформатную камеру, где весь блок объектива можно свободно располагать). Поле цветов (которое фактически простирается до бесконечности) и изображение его дальнего края вместе с плоскостью изображения показаны на рисунке (б). Восстановите положение линзы, фокусное расстояние которой дано масштабным отрезком (2 балла).
На рисунке (б): film plane — плоскость плёнки, image of the horizon — изображение горизонта, focal length — фокусное расстояние, field of flowers — поле цветов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛуч через центр линзы не преломляется, и прямая, её изображение и плоскость линзы пересекаются в одной точке. Изображение дальнего края поля лежит в фокальной плоскости на расстоянии \(f\) от неё.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИз \(f^{-1}=x^{-1}-x'^{-1}\) получаем \(x=\dfrac{x'f}{x'+f}\). Поскольку луч, проходящий через центр линзы, не преломляется, из подобия треугольников получаем связь между \(y\)-координатами точки и изображения: \(y=y'\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y'f}{x'+f}\). Подставляя в \(y=ax+b\), получаем \(\dfrac{y'f}{x'+f}=a\dfrac{x'f}{x'+f}+b\), откуда \(y'=ax'+b\left(\dfrac{x'}{f}+1\right)=x'\left(a+\dfrac bf\right)+b\), что тоже определяет прямую линию.
Построение изображения (п. 2). Сначала заметим, что прямая, её изображение и плоскость линзы пересекаются в одной точке, потому что изображение той точки прямой, которая лежит в плоскости линзы, совпадает с ней самой. Теперь изображение легко построить, см. рисунок.
На рисунке: real image — действительное изображение, virtual image — мнимое изображение, focus — фокус, line — прямая.
Положение линзы (п. 3). Сначала заметим, что расстояние от изображения дальнего края поля (обозначим его \(A\)) до фокальной плоскости равно фокусному расстоянию \(f\). Поэтому плоскость линзы должна касаться окружности радиуса \(f\), проведённой вокруг \(A\), см. рисунок. Далее заметим, что есть один луч, соединяющий дальний край поля и его изображение и не преломляющийся — луч, проходящий через центр линзы, см. рисунок.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Телескоп Гейла Всесоюзная 1980/81, заключительный этап, 11 кл.
- Увеличенное изображение при заданном расстоянии предмет-экран Физтех 2006/07, заключительный этап, 11 кл.
- Линза с увеличением 1,5 МОШ 2012/13, отборочный этап, 11 кл.
- Линза между предметом и экраном МОШ 2012/13, отборочный этап, 11 кл.
- Камера мобильного телефона NBPhO 2012/13, заключительный этап, 11 кл.
- Предельный диапазон фокусного расстояния объектива ЕГЭ 2013, 11 кл.