Телескоп Гейла

Спутник далеко, но не бесконечно: его изображение возникает чуть дальше фокуса. Звёзды — на бесконечности: их лучи сходятся в самом фокусе.

1) \(x=\dfrac{F^2}{L-F}\approx8{,}0\) см за фокусом;  2) \(h=\dfrac{dF}{L-F}\approx1{,}0\) мм;  3) \(D'=\dfrac{DF}{L-F}\approx1{,}25\) мм.

Что происходит. Объектив собирает лучи, как тонкая линза с фокусным расстоянием \(F\) (для зеркала Гейла формулы те же). Изображение спутника строится по формуле линзы и лежит чуть дальше фокуса; фотопластинку ставят в плоскость этого изображения. Звезда бесконечно далека: идущие от неё лучи параллельны, и объектив собирает их в фокусе. Пластинка стоит не в фокусе, а за ним, поэтому изображение звезды — кружок: сечение сходящегося пучка.

Обозначения. \(f\) — расстояние от объектива до изображения спутника, \(x=f-F\) — расстояние от фокуса до пластинки, \(h\) — размер изображения спутника, \(D'\) — диаметр кружка звезды.

1. Положение пластинки. Формула тонкой линзы для спутника: \(\dfrac1F=\dfrac1L+\dfrac1f\). Отсюда \(f=\dfrac{FL}{L-F}\) и \[x=f-F=\frac{F^2}{L-F}=\frac{160^2}{320000-160}\text{ м}\approx0{,}0800\text{ м}=8{,}0\text{ см}.\]

2. Изображение спутника. Луч через центр объектива не преломляется; из подобия треугольников с вершиной в центре объектива \(\dfrac hd=\dfrac fL\). Тогда \[h=\frac{df}{L}=\frac{dF}{L-F}=\frac{2\cdot160}{319840}\text{ м}\approx1{,}0\cdot10^{-3}\text{ м}=1{,}0\text{ мм}.\]

3. Размытое изображение звезды. Пучок от звезды, прошедший объектив диаметром \(D\), сходится в фокусе. За фокусом на расстоянии \(x\) его диаметр найдём из подобия треугольников с вершиной в фокусе: \(\dfrac{D'}{D}=\dfrac xF\). Отсюда \[D'=D\,\frac xF=\frac{DF}{L-F}=2{,}50\text{ м}\cdot\frac{0{,}0800}{160}\approx1{,}25\cdot10^{-3}\text{ м}\approx1{,}3\text{ мм}.\]

Обратите внимание: расстояние в первом вопросе отсчитывается от фокуса, а не от объектива; от объектива до пластинки \(f=F+x\approx160{,}08\) м.

Ответ. 1) \(x=\dfrac{F^2}{L-F}\approx8{,}0\) см за фокусом;  2) \(h=\dfrac{dF}{L-F}\approx1{,}0\) мм;  3) \(D'=\dfrac{DF}{L-F}\approx1{,}25\) мм.

Проверка. Размерность: \(F^2/(L-F)\) — метры. Второй способ: отношение \(D'/h=D/d=1{,}25\) — оба размера получены из подобия при одном множителе \(F/(L-F)\), и числа \(1{,}25\) мм и \(1{,}0\) мм это отношение дают. Предел: при \(L\to\infty\) получаем \(x\to0\), \(h\to0\), \(D'\to0\) — пластинка в фокусе, как у звезды. Дифракционный предел кружка \(\sim\lambda F/D\approx5\cdot10^{-7}\cdot160/2{,}5\approx3\cdot10^{-5}\) м много меньше \(1{,}25\) мм, поэтому геометрического расчёта достаточно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.