Электрический звонок

Ключ работает в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. Выпишите для каждого, к чему подключена катушка и как в ней меняется ток. Энергия от батареи берётся только в одном из состояний.

\(f=\dfrac{1}{t_1+t_2}\approx49\text{ Гц}\), где \(t_1=\dfrac{L(I_1-I_2)}{\mathcal E}=0{,}010\text{ с}\), \(t_2=\dfrac LR\ln\dfrac{I_1}{I_2}=0{,}0105\text{ с}\); \(P\approx9{,}5\text{ Вт}\).

Что происходит. Звонок работает циклами из двух стадий. Пока ключ \(K\) замкнут, к батарее параллельно подключены резистор и катушка: на катушке напряжение \(\mathcal E\), её ток растёт линейно. При токе \(I_1\) ключ размыкается, батарея отключается, а катушка оказывается замкнутой на резистор: ток поддерживает ЭДС самоиндукции и убывает по экспоненте. При токе \(I_2\) ключ замыкается, и цикл повторяется. Период равен сумме длительностей двух стадий; энергию батарея отдаёт только при замкнутом ключе.

Обозначения. \(I\) — ток в катушке (вдоль стрелки на рисунке, от узла у батареи к ключу), \(t_1\) — время, пока \(K\) замкнут, \(t_2\) — пока разомкнут, \(T=t_1+t_2\). Внутреннее сопротивление батареи считаем равным нулю, индуктивность \(L\) — постоянной.

1. Ключ замкнут. Катушка без активного сопротивления подключена прямо к батарее, значит, напряжение на ней равно \(\mathcal E\). Запишем закон самоиндукции для катушки: \(L\dfrac{dI}{dt}=\mathcal E\). Скорость роста тока постоянна, поэтому за время \(t_1\) ток вырастает от \(I_2\) до \(I_1\): \[t_1=\frac{L(I_1-I_2)}{\mathcal E}=\frac{1\cdot0{,}1}{10}\text{ с}=0{,}010\text{ с}.\] Через резистор в это время идёт постоянный ток \(\mathcal E/R=1\) А, а через батарею — ток \(I+\mathcal E/R\).

2. Ключ разомкнут. Ток катушки скачком не меняется: сразу после размыкания он равен \(I_1\) и течёт через резистор, но теперь в обратную сторону по сравнению с прежним током резистора. Закон Ома для контура из катушки и резистора: \(L\dfrac{dI}{dt}=-IR\). Разделим переменные и просуммируем малые изменения от \(I_1\) до \(I_2\): \[\int\limits_{I_1}^{I_2}\frac{dI}{I}=-\frac RL\int\limits_{0}^{t_2}dt\quad\Rightarrow\quad t_2=\frac LR\ln\frac{I_1}{I_2}=0{,}1\ln\frac{1}{0{,}9}\text{ с}=0{,}0105\text{ с}.\] Обратите внимание: ток в резисторе при размыкании меняет направление, а ток катушки — нет; и именно ток катушки не может измениться скачком.

3. Период и частота. \[T=t_1+t_2=0{,}0205\text{ с},\qquad f=\frac1T\approx48{,}7\text{ Гц}\approx49\text{ Гц}.\]

4. Мощность. Работа батареи за период \(A=\mathcal E q\), где \(q\) — заряд, прошедший через батарею. Он идёт только при замкнутом ключе: ток катушки растёт линейно, поэтому его среднее значение \((I_1+I_2)/2\), и \[q=\left(\frac{I_1+I_2}{2}+\frac{\mathcal E}{R}\right)t_1=(0{,}95+1)\,\text{А}\cdot0{,}010\text{ с}=0{,}0195\text{ Кл},\qquad A=\mathcal Eq=0{,}195\text{ Дж}.\] Средняя мощность: \[P=\frac AT=\frac{0{,}195\text{ Дж}}{0{,}0205\text{ с}}\approx9{,}5\text{ Вт}.\]

Ответ. \(f=\dfrac{1}{\dfrac{L(I_1-I_2)}{\mathcal E}+\dfrac LR\ln\dfrac{I_1}{I_2}}\approx49\) Гц; \(P\approx9{,}5\) Вт.

Проверка. Размерность: \(L/R\) — секунды, \(L\Delta I/\mathcal E\) — секунды. Второй способ для мощности: в модели энергия расходуется только на нагрев резистора. На стадии 1: \(\dfrac{\mathcal E^2}{R}t_1=0{,}100\) Дж; на стадии 2 выделяется энергия магнитного поля, убавившаяся в катушке: \(\dfrac{L(I_1^2-I_2^2)}{2}=0{,}095\) Дж; сумма \(0{,}195\) Дж — равна работе батареи. Предел: при \(I_2\to I_1\) обе длительности стремятся к нулю, частота растёт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.