Планеты

Видимое угловое движение определяется разностью угловых скоростей планет, а максимальный угол \(\varphi_m\) задаётся условием \(\sin\varphi_m=k\) для луча, касательного к внутренней орбите. Период на графике — синодический.

1) \(k\approx1{,}4\)–\(1{,}5\);  2) единица на вертикальной оси \(\approx4{,}8\) (в тех же единицах, что и \(\varphi_m\approx0{,}75\) рад);  3) \(r_1\approx2{,}5\cdot10^{11}\) м, \(r_2\approx3{,}7\cdot10^{11}\) м.

1) Первый способ: определим касательные к графику в точках, где кривая пересекает горизонтальную ось: \(a_1\approx-2{,}8\) и \(a_2\approx16\) (в единицах графика). Тогда \(a_1=-\omega\dfrac{k}{1+k}\) и \(a_2=\omega\dfrac{k}{1-k}\). Единицы графика сокращаются в отношении этих касательных: \(\varepsilon=-\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{1+k}{1-k}\approx5{,}7\), откуда \(k=\dfrac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\approx1{,}4\).

Второй способ (более точный): определим расстояния между соседними минимумом и максимумом, \(t_1\approx1{,}2\), и между соседними минимумами, \(t_2\approx4{,}6\) (в единицах графика). Тогда \(\mu=\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{\pi-2\arcsin k}{2\pi}\approx0{,}261\), откуда \(k=\sin\bigl[(\tfrac12-\mu)\pi\bigr]\approx1{,}47\approx1{,}5\).

2) Для максимального углового смещения \(\varphi_m\): \(\sin\varphi_m=k=\sin\bigl[(\tfrac12-\mu)\pi\bigr]\), откуда \(\varphi_m=(\tfrac12-\mu)\pi=0{,}75\) рад \(\approx3{,}6\) единицы. Следовательно, единица равна \(\varphi_m/\bigl[(\tfrac12-\mu)\pi\bigr]\approx4{,}8\).

3) Если угловые скорости планет \(\omega_1\) и \(\omega_2\), то кажущаяся угловая скорость (в системе, где звезда и планета-наблюдатель неподвижны) равна \(\omega=\omega_1-\omega_2\). Из второго закона Ньютона \(GMr_i^{-2}=\omega_i^2r_i\), \(i=1,2\), где \(r_i\) — радиус орбиты планеты. Значит, \(\omega_i=\sqrt{GMr_i^{-3}}\) и \(\omega=\sqrt{GM}\bigl(r_2^{-1{,}5}-r_1^{-1{,}5}\bigr)=\sqrt{GM}\,r_1^{-1{,}5}\bigl(1-k^{-1{,}5}\bigr)\). Наконец, квадрат наблюдаемого периода \(T^2=(2\pi/\omega)^2=\dfrac{4\pi^2r_1^3}{GM\,(1-k^{-1{,}5})^2}\) и \(r_1=\Bigl[\dfrac{T^2GM(1-k^{-1{,}5})^2}{4\pi^2}\Bigr]^{1/3}\). Используя \(T\approx4{,}6\) года \(\approx1{,}45\cdot10^8\) с, получаем \(r_1\approx2{,}5\cdot10^{11}\) м; соответственно \(r_2=kr_1\approx3{,}7\cdot10^{11}\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.