Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Резиновое волокно

  1. Резиновое волокно

    NBPhO 2003/04, заключительный этап, 11 кл. · №25707
    7/10PDF: условиес решением

    (12 баллов) Волокна из эластичной резины можно растянуть до длин \(l\), намного больших длины \(l_0\) в недеформированном состоянии. У такой резины полный объём волокна остаётся постоянным.

    1) Выразите площадь поперечного сечения \(S\) такого волокна в деформированном состоянии через его длину \(l\) и начальные размеры \(l_0\), \(S_0\) (1 балл).

    2) При малых деформациях упругого материала растягивающая сила \(F\) и деформация \(x\) связаны законом Гука \(F=k_0x\), где жёсткость \(k_0=E_0S_0/l_0\), а \(E_0\) — модуль Юнга резины. Однако при немалых (возможно, больших, \(l\gg l_0\)) деформациях упругой резины закон Гука заменяется нелинейным законом \(F(l)=a+\dfrac bl\) (нарушение этого закона при очень больших значениях \(l\) здесь изучать не будем). Выразите постоянные \(a\) и \(b\) через \(l_0\), \(S_0\) и \(E_0\) (2 балла).

    3) Пусть такое волокно растянуто некоторой силой до длины \(l\). Малое изменение \(\Delta F\) растягивающей силы приводит к малому изменению длины \(\Delta l\ll l\). Выразите \(\Delta F\) через \(l\), \(l_0\), \(S_0\), \(E_0\) и \(\Delta l\) (1 балл).

    4) Пусть к одному концу волокна прикреплено небольшое тело, и система приведена во вращение вокруг другого конца волокна. В случае движения тела по окружности выразите длину волокна \(l\) через \(l_0\), \(S_0\), \(E_0\) и кинетическую энергию тела \(K\) (кинетической энергией волокна и силой тяжести можно пренебречь) (1,5 балла).

    5) Рассмотрим слегка некруговое движение тела. Опишем движение системы изменением длины волокна \(r(t)=l(t)-l(0)\), радиальной \(v_r(t)\) и тангенциальной \(v_t(t)\) скоростями тела (составляющими, соответственно параллельной и перпендикулярной волокну). Начальные значения этих величин обозначим \(L\equiv l(0)\), \(V_r\equiv v_r(0)\) и \(V_t\equiv v_t(0)\). Значения \(L\) и \(V_t\) выбраны так, что при нулевой начальной радиальной скорости движение было бы круговым. Запишите два независимых уравнения, связывающих \(r(t)\), \(v_r(t)\) и \(v_t(t)\) друг с другом (используя также массу тела \(m\) и параметры \(L\), \(V_r\), \(V_t\), \(l_0\), \(S_0\), \(E_0\)) (3,5 балла).

    6) Найдите связь между \(r(t)\) и \(v_r(t)\) (содержащую также параметры \(m\), \(L\), \(V_r\), \(V_t\), \(l_0\), \(S_0\), \(E_0\)), считая, что \(|r|\ll L\), и найдите период \(T\) малых колебаний \(r(t)\). Упростите выражение для \(T\) при \(L\gg l_0\) (3 балла).

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Постоянство объёма даёт площадь сечения, а условие \(F(l_0)=0\) вместе с линейным пределом — обе константы. Для почти круговой орбиты используйте сохранение момента импульса и энергии, разложите их при малом \(r\): линейные по \(r\) члены сокращаются, остаётся энергия осциллятора.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(S=S_0l_0/l\);  2) \(a=E_0S_0\), \(b=-E_0S_0l_0\);  3) \(\Delta F\approx E_0S_0\,l_0\,\Delta l/l^2\);  4) \(l=l_0+\dfrac{2K}{E_0S_0}\);  6) \(T=\dfrac{2\pi L}{\sqrt{3V_t^2+E_0S_0l_0/m}}\approx\dfrac{2\pi L}{\sqrt3\,V_t}\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    1) Сохранение объёма: \(Sl=S_0l_0\), откуда \(S=S_0l_0/l\).

    2) В пределе малых деформаций \(F(l)=a+\dfrac bl\approx a-\dfrac{bx}{l_0^2}=k_0x\), откуда \(E_0S_0/l_0=-b/l_0^2\), то есть \(b=-E_0S_0l_0\) (1 балл). Кроме того, при \(l=l_0\) имеем \(F=0\) (0,5 балла), поэтому \(a+\dfrac b{l_0}=0\) и \(a=E_0S_0\) (1 балл).

    3) \(\Delta F\approx\dfrac{dF}{dl}\,\Delta l=E_0S_0\,\dfrac{l_0\,\Delta l}{l^2}\).

    4) Второй закон Ньютона: \(E_0S_0\Bigl(1-\dfrac{l_0}{l}\Bigr)=\dfrac{2K}{l}\), откуда \(l=l_0+\dfrac{2K}{E_0S_0}\).

    5) Закон сохранения момента импульса: \(lv_t=LV_t\), откуда \(v_t=V_t\dfrac{L}{L+r}\) (1,5 балла). Закон сохранения энергии: \[\frac m2\left(v_t^2+v_r^2\right)+E_0S_0\left(r-l_0\ln\frac{r+L}{L}\right)=\frac m2\left(V_t^2+V_r^2\right)\quad\text{(2 балла).}\]

    6) Подставив \(v_t\) из закона сохранения момента импульса в уравнение энергии, получаем \[\frac m2\left[V_t^2\left(\frac{L}{L+r}\right)^2+v_r^2\right]+E_0S_0\left(r-l_0\ln\frac{r+L}{L}\right)=\frac m2\left(V_t^2+V_r^2\right).\] Далее используем условие \(|r|\ll L\) и подставляем \(\left(\dfrac L{L+r}\right)^2\approx1-2\dfrac rL+3\left(\dfrac rL\right)^2\), \(\ln\dfrac{r+L}{L}\approx\dfrac rL-\dfrac12\left(\dfrac rL\right)^2\). Линейные по \(r\) члены сокращаются в силу условия \(E_0S_0\left(1-\dfrac{l_0}{L}\right)=\dfrac{mV_t^2}{L}\). В итоге приходим к уравнению \[\frac m2\left[3V_t^2\left(\frac rL\right)^2+v_r^2\right]+\frac12E_0S_0l_0\left(\frac rL\right)^2=\frac m2V_r^2 .\] Это закон сохранения энергии для маятника, состоящего из пружины с эффективной жёсткостью \(k_{\text{эфф}}=(3mV_t^2+E_0S_0l_0)L^{-2}\) и тела с эффективной массой \(m_{\text{эфф}}=m\). Поэтому \[T=\frac{2\pi L}{\sqrt{3V_t^2+E_0S_0l_0\,m^{-1}}}\approx\frac{2\pi L}{\sqrt3\,V_t}\quad\text{при }L\gg l_0 .\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх