Камера мобильного телефона

Предмет на бесконечности даёт на матрице кружок, диаметр которого найдите из подобия треугольников; он не должен превышать размера одного пикселя. Для ближней границы резкости сделайте то же для предмета на расстоянии \(s\).

i) \(L=\dfrac{Df N}{w}\approx5{,}5\) м;  ii) \(s=\dfrac L2\approx2{,}75\) м.

Расстояние \(L\) в фотографии часто называют гиперфокальным; его рассчитали более ста лет назад, Луи Дерр (рисунок взят из его книги «Photography for students of physics and chemistry», изданной в 1906 году).

Будем считать, что камера сфокусирована на расстояние \(L\) и изображение образуется точно в плоскости матрицы. Расстояние \(L\) до предмета и расстояние \(a\) до его изображения (на рисунке — \(p'\)) связаны формулой линзы \(\dfrac1L+\dfrac1a=\dfrac1f\), поэтому \[a=\frac{Lf}{L-f}=\frac{Lf}{L(1-f/L)}\approx\frac{Lf}{L}\left(1+\frac fL\right)=f+\frac{f^2}{L},\] где использовано приближение \((1+x)^{-1}\approx1-x\) (при малых \(x\)). Расстояние до изображения превышает фокусное на \(\Delta a=a-f=f^2/L\).

На рисунке: Fig. 49. Hyperfocal Distance — Рис. 49. Гиперфокальное расстояние.

i) (4 балла) Свет от бесконечно удалённого предмета пройдёт через фокус \(F\) и образует конус, который срезается плоскостью матрицы. Диаметр \(d\) среза в плоскости матрицы находится из подобия треугольников: \(d/D=\Delta a/f\), откуда \(d=Df/L\). С учётом условия резкости \(d\le\eta\), где \(\eta=w/N\) — размер одного элемента матрицы, получаем предельное значение \(L=Df/\eta=DfN/w\approx5{,}5\) м.

ii) (2 балла) Найдём теперь наименьшее расстояние \(s\), удовлетворяющее условию резкости. Предмет на расстоянии \(s\) даёт изображение на расстоянии \(b=f+f^2/s\), и свет, прошедший через линзу, сойдётся за плоскостью матрицы, образуя конус. Диаметр \(d_2\) среза конуса плоскостью матрицы можно вычислить из подобия треугольников: \(d_2/D=(b-a)/b\). Учитывая условие резкости \(d_2=\eta\), выразим \(b=a/(1-\eta/D)\), и подстановка значений \(a\) и \(b\) даёт \[f+\frac{f^2}{s}=\frac{f+\dfrac{f^2}{L}}{1-\eta/D}=f\,\frac{1+\eta/D}{1-\eta/D}\approx f\left(1+\frac\eta D\right)^2\approx f\left(1+\frac{2\eta}{D}\right).\] Наконец, \(f^2/s=2f\eta/D\), или \(s=\tfrac12 Df/\eta=L/2\approx2{,}75\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.