Полёт на Марс

Переходная орбита — эллипс с большой полуосью \((R_{\text З}+R_{\text М})/2\), поэтому время перелёта находится из третьего закона Кеплера. Скорости в начале и в конце орбиты находите из энергии, а скорость относительно планеты — вычитанием скорости планеты.

i) \(T_{\text М}\approx1{,}87\) года;  ii) \(t_t\approx0{,}707\) года;  iii) \(\Delta v_1\approx11{,}2\) км/с;  iv) \(\Delta v_2\approx2{,}43\) км/с;  v) \(\approx2{,}67\) года.

i) (1 балл) Период обращения Марса находим из третьего закона Кеплера \(R_{\text М}^3/R_{\text З}^3=T_{\text М}^2/T_{\text З}^2\), получаем \(T_{\text М}\approx1{,}87\) года.

ii) (1,5 балла) Снова используем третий закон Кеплера, для половины периода обращения: \[t_t=\frac{T_{\text З}}{2}\,\frac{(R_{\text М}+R_{\text З})^{3/2}}{(2R_{\text З})^{3/2}}\approx0{,}707\text{ года}.\]

iii) (1,5 балла) Справка. \(\Delta v\) важно, потому что сумма всех \(\Delta v\) определяет, сколько топлива нужно для данной миссии. Нужное количество топлива экспоненциально зависит от полного \(\Delta v\) и описывается формулой Циолковского.

Кинетическая энергия на единицу массы на такой переходной орбите там, где она пересекает орбиту Земли, равна \(-\dfrac{GM_s}{R_{\text З}+R_{\text М}}+\dfrac{GM_s}{R_{\text З}}\). Используя угловую скорость орбитального движения Земли, подставим \(GM_s=\dfrac{4\pi^2R_{\text З}^3}{T_{\text З}}\). Скорость в начале переходной орбиты равна \[v_{t0}=\sqrt{2GM_s\left(\frac1{R_{\text З}}-\frac1{R_{\text З}+R_{\text М}}\right)}\approx32{,}7\text{ км/с}.\] Скорость в инерциальной системе Земли \(v'_{t0}=v_{t0}-v_{\text З}\approx2{,}94\) км/с. Чтобы достичь её, нужно сначала вырваться из поля тяготения Земли, поэтому \[\Delta v_1=\sqrt{2\left(\frac{v_{t0}'^{\,2}}{2}+\frac{GM_{\text З}}{r_{\text З}}\right)}.\] Используя ускорение свободного падения на Земле, подставим \(\dfrac{GM_{\text З}}{r_{\text З}}=g_{\text З}r_{\text З}\), и получим \(\Delta v_1\approx11{,}2\) км/с.

iv) (1,5 балла) Скорость на переходной орбите там, где она пересекает орбиту Марса, находим из второго закона Кеплера: \(v_{t1}=v_{t0}/1{,}52\approx21{,}5\) км/с. Скорость корабля относительно Марса \(v'_{t1}\approx3{,}25\) км/с. Скорость корабля вблизи поверхности Марса \[v_{tm}=\sqrt{2\left(\frac{v_{t1}'^{\,2}}{2}+r_{\text М}g_{\text М}\right)}\approx5{,}98\text{ км/с}.\] Так как скорость на низкой орбите Марса \(v_{e\text М}=\sqrt{r_{\text М}g_{\text М}}\approx3{,}55\) км/с, нужно затормозить на \(\Delta v_2\approx2{,}43\) км/с.

v) (1,5 балла) Угол Земля — Солнце — Марс \(\alpha\) в момент старта миссии должен быть \(\alpha=\pi-w_{\text М}t_t\approx0{,}77\), чтобы корабль достиг Марса. Аналогично для обратного пути \(\beta=\pi-w_{\text З}t_t\approx-1{,}301\). Перейдя в систему отсчёта, вращающуюся вместе с Землёй, видим, что минимальное время между этими двумя углами равно \(\dfrac{2\pi+\alpha+\beta}{w_{\text З}-w_{\text М}}\approx1{,}96\) года. Минимальная длительность полёта, таким образом, больше на \(t_t\) и равна \(2{,}67\) года.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.