Призма

В пункте i) на призму действуют три силы, поэтому их линии действия пересекаются в одной точке. В пункте ii) сравните, насколько при малом повороте призмы поднимается её вершина и насколько опускается центр масс.

i) \(d=\dfrac{\sqrt3}{8}\,a\);  ii) \(l>\dfrac14\,a\).

i) На призму действуют три силы: сила реакции \(\vec R_l\) со стороны левого стола, направленная перпендикулярно грани призмы; сила реакции \(\vec R_r\) со стороны правого стола, направленная горизонтально (точку её приложения ещё предстоит определить); и сила тяжести \(m\vec g\), направленная вертикально и приложенная в центре треугольника. (Достаточно рассматривать плоское треугольное сечение призмы.)

На пороге выпадения из щели сила \(\vec R_r\) приложена к нижнему углу треугольника. Если тело находится в равновесии под действием трёх сил, то линии их действия должны пересекаться в одной точке. Это так потому, что иначе момент одной из этих сил не был бы равен нулю относительно точки пересечения линий действия двух других сил.

Так как расстояние от центра треугольника до его стороны равно \(\dfrac{\sqrt3}{6}a\), расстояние между точками приложения сил \(\vec R_l\) и \(\vec R_r\) равно \(\dfrac{\sqrt3}{6}a\cos30^\circ=\dfrac14 a\). Следовательно, \(d=\dfrac14 a\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{8}a\).

ii) Обозначим углы через \(A\) и \(B\), а вершину призмы (в положении равновесия) — через \(C\). Рассмотрим малый поворот призмы (считая, что она остаётся в контакте с краями щели). Траектория вершины — окружность, описанная около треугольника \(ABC\) (это следует из свойства вписанных углов, так как \(\angle ACB\) остаётся равным \(60^\circ\)). Радиус этой окружности \(r=l/\sqrt3\); её центр обозначим \(O\). Когда призма повернётся на угол \(\alpha\) и новое положение вершины будет \(D\), центральный угол \(\angle COD=2\alpha\). Следовательно, вершина поднимется на \(r-r\cos(2\alpha)\approx 2r\alpha^2\). Высота центра масс \(P\) призмы увеличивается из-за подъёма вершины и уменьшается из-за того, что вертикальная проекция отрезка \(CP\) сокращается на \(|CP|(1-\cos\alpha)\approx|CP|\alpha^2/2\). Здесь \(|CP|=a/\sqrt3\). Итак, исходное положение устойчиво, если \[\frac{a}{\sqrt3}\,\alpha^2/2<2\,\frac{l}{\sqrt3}\,\alpha^2,\quad\text{откуда } l>\tfrac14\,a.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.