Шар и цилиндр

Без проскальзывания энергия делится между поступательным и вращательным движением в отношении, зависящем только от формы тела; трение покоя, нужное для такого качения, растёт с углом наклона до предельного значения \(\mu N\).

i) быстрее шар, \(\gamma=\sqrt{\dfrac{15}{14}}-1\approx0{,}035\);  ii) \(\alpha_0=\arctan(3\mu)\);  iii) \(\alpha_m=\arctan\left(\dfrac72\,\mu\right)\).

i) (2 балла) Так как при качении без проскальзывания энергия на трение не теряется, изменение потенциальной энергии \(\Delta E_p=mgH\) переходит в кинетическую энергию, состоящую из поступательного и вращательного движения. С учётом условия качения \(v=\omega r\) имеем \[\Delta E_p=E_k=\frac12 mv^2+\frac12 I\omega^2=\frac12 mv^2+\frac12 kmv^2=\frac12(1+k)mv^2,\] где использовано общее выражение для момента инерции \(I=kmr^2\). Поэтому \(v^2=2gH/(1+k)\).

С другой стороны, тела проходят вдоль склона путь \(x=H/\sin\alpha\) с постоянным ускорением \(a_\parallel\), направленным параллельно поверхности. Выразим \(a_\parallel\) из уравнения \(v^2=2a_\parallel x\): \[a_\parallel=g\sin\alpha/(1+k).\] Времена теперь легко вычислить как \(t=v/a_\parallel\): \[t=\sqrt{1+k}\left(\frac{2H}{g\sin^2\alpha}\right)^{1/2}.\] Подставляя \(k_{\text{ш}}=\tfrac25\) для шара и \(k_{\text{ц}}=\tfrac12\) для цилиндра, находим, что шар быстрее в относительном выражении на \[\gamma=\sqrt{\frac{1+k_{\text{ц}}}{1+k_{\text{ш}}}}-1=\sqrt{\frac{15}{14}}-1\approx0{,}035.\]

ii) (2,5 балла) Как найдено в предыдущем пункте, параллельная склону составляющая ускорения \(a_\parallel\) меньше вклада силы тяжести \(g\sin\alpha\). Разность обеспечивает сила трения \(F_f=mg\sin\alpha-ma_\parallel\). Проскальзывание начинается, если необходимая сила трения достигает максимального значения \(F_{\max}=\mu N=\mu mg\cos\alpha\). Приравнивая два выражения, получаем \[mg\sin\alpha-mg\sin\alpha/(1+k)=\mu mg\cos\alpha,\qquad \tan\alpha=\mu\,\frac{1+k}{k}.\] Для цилиндра предельный угол \(\alpha_0=\arctan(3\mu)\).

iii) (2,5 балла) Когда достигнута максимальная сила трения, движение переходит в режим качения с проскальзыванием, где полная составляющая силы вдоль поверхности равна разности силы тяжести и трения: \[F_\parallel=mg\sin\alpha-F_{\max}=mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha.\] Отметим, что ускорение в этом режиме больше не зависит от момента инерции.

Вычисляя предельный угол режима проскальзывания и для шара, \(\alpha_{\text{ш}}=\arctan(\tfrac72\mu)>\alpha_0\), видим, что при всех углах, больших \(\alpha_m=\alpha_{\text{ш}}\), оба тела находятся в режиме проскальзывания и потому имеют одинаковые ускорения и времена спуска.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.