Шар

Относительно любой оси, лежащей на поверхности стола, момент сил трения равен нулю, поэтому сохраняется момент импульса относительно такой оси. Катящийся шар вращается вокруг точки касания.

1) \(t=\dfrac{Iv}{g\mu(I+mr^2)}\) (здесь \(r=R\));  2) \(\omega_*=\dfrac{mvr}{I+mr^2}\), \(E_*=\dfrac{m^2v^2r^2}{2(I+mr^2)}\), у полой сферы энергия меньше;  3) \(E'_*=E_*\);  4) \(E''_*=\frac12(I+mr^2)\omega_*''^2<E_*\), где \(\omega''_*=\dfrac{mvr}{I+mr^2+\frac{\mu_r}{\mu}I}\).

Прямой путь решения пунктов i), ii) и iii) — использовать закон сохранения момента импульса относительно любой оси, лежащей на поверхности (относительно этих осей момент сил отсутствует). Момент импульса в начале: \(L_0=mvr\). Катящийся шар всегда вращается вокруг точки касания с землёй (хотя положение этой точки постоянно меняется). Из теоремы Штейнера известно, что для оси вращения, расположенной на расстоянии \(r\) от центра масс, момент инерции равен \(I'=I+mr^2\). Поэтому момент импульса вращающегося шара \(L'=I'\omega\), и ясно, что \(L_0=L'\), следовательно, \(mvr=(I+mr^2)\omega\), \[\omega=\frac{mvr}{I+mr^2}.\]

1. Момент сил относительно центра масс: \(M=mg\mu r\). Поскольку \(M\,\Delta t=I\,\Delta\omega\), а скольжение прекращается, когда угловая скорость достигла значения \(\omega\), получаем соответствующее время: \[t=\frac{I\omega}{mg\mu r}=\frac{Iv}{g\mu(I+mr^2)}.\]

2. Ясно, что \(\omega_*=\dfrac{mvr}{I+mr^2}\) и \[E_*=\frac12\bigl(mv_*^2+I\omega_*^2\bigr)=\frac12\bigl(mr^2\omega_*^2+I\omega_*^2\bigr)=\frac{m^2v^2r^2}{2(I+mr^2)}.\] Если \(I\) увеличивается, то \(E_*\) уменьшается.

3. Поскольку при выводе \(\omega_*\) мы не делали никаких предположений о виде функции \(\mu\), результаты \(\omega_*\) и \(E_*\) пункта ii) остаются справедливыми.

4. Суммарная сила \(F=F_\mu+F_r\) вызывает уменьшение поступательной скорости: \(m\,\Delta v=F\,\Delta t\), \[v'(t)=v-(\mu+\mu_r)gt.\] Скольжение прекращается, когда \(\omega(t)=v'(t)/r\). Заметим, что момент сил относительно центра масс создаёт только сила кинетического трения, поэтому \(\omega(t)=\dfrac{mg\mu r}{I}\,t\). Получаем уравнение для момента прекращения скольжения: \(\dfrac{mg\mu r^2}{I}\,t=v-(\mu+\mu_r)gt\), \[t=\frac{Iv}{g\mu(I+mr^2)+g\mu_r I}.\] Соответствующая угловая скорость \[\omega''_*=\frac{mvr}{I+mr^2+\dfrac{\mu_r}{\mu}I},\] и энергия \(E''_*=\frac12(I+mr^2)\omega''^2_*\). Ясно, что \(E''_*<E_*\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.