Клин

Центр масс системы по горизонтали не движется; кинетическую энергию системы можно выразить через вертикальную скорость бруска, а затем связать её изменение с \(dt\) через \(dh=v_\downarrow\,dt\).

\(t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}\left(\dfrac M{M+m}\cot^2\alpha+1\right)}\).

Центр масс системы не движется (по горизонтали), поэтому \(Mu=mv_h\), где \(u\) и \(v_h\) — горизонтальные составляющие скоростей клина и бруска в лабораторной системе в некоторый момент времени. В системе отсчёта клина брусок имеет горизонтальную скорость \(v'=v_h+u=v_h\bigl(1+\frac mM\bigr)\). Поскольку брусок скользит вниз по клину, вертикальная составляющая его скорости должна быть \(v_\downarrow=v'\tan\alpha\). Полная кинетическая энергия в лабораторной системе \(E_K=\frac12\bigl(Mu^2+mv_h^2+mv_\downarrow^2\bigr)\). Подставляя соответствующие величины и упрощая, получаем \[E_k=\frac m2\,v_\downarrow^2\,\beta,\qquad\text{где }\beta\equiv\frac M{M+m}\cot^2\alpha+1.\] Кинетическая энергия равна изменению потенциальной энергии: \(\frac m2\beta v_\downarrow^2=\Delta E_P=mg(h-h')\). Дифференцируя и учитывая, что \(dh=dt\cdot v_\downarrow\), получаем \(\beta\,dv_\downarrow=g\,dt\), \(t=\dfrac\beta g\,v_{\downarrow\max}\). Из записанного выше закона сохранения энергии находим \(v_{\downarrow\max}=\sqrt{\dfrac{2gh}\beta}\); поэтому окончательно \[t=\sqrt{\frac{2\beta h}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{g}\left(\frac M{M+m}\cot^2\alpha+1\right)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.