Клинья и наклонные поверхности

В момент отрыва на клин действуют только вертикальные силы, поэтому его ускорение равно нулю, а ускорение шарика направлено вдоль поверхности клина. Разложите ускорение шарика на касательную (\(g\)) и центростремительную (\(u^2/L\)) составляющие и свяжите скорости шарика и клина условием контакта.

\(v = \sqrt{\dfrac{gL}{\operatorname{tg}^3\alpha}} = \sqrt{gL\operatorname{ctg}^3\alpha}\).

Чтобы шарик скользил по наклонной поверхности без отрыва, необходимо, чтобы проекции скорости \(v\) клина и скорости \(u\) шарика на ось нормальную к поверхности были равны. Запишем кинематическую связь для момента, когда стержень горизонтален: \[u\cos\alpha = v\sin\alpha \;\Rightarrow\; u = v\operatorname{tg}\alpha.\]

Поскольку ось, перпендикулярная наклонной поверхности клина, постоянна по направлению, а проекции скоростей клина и шарика на эту ось одинаковы, то и проекции ускорений клина и шарика на данную ось также равны. После отрыва шарика от клина все действующие на клин силы вертикальны. В результате этого клин начинает двигаться равномерно. Следовательно, в момент отрыва проекция ускорения шарика на нормаль к поверхности клина равна нулю.

Равенство нулю проекции ускорения шарика в момент отрыва можно доказать другим способом: перейдём в поступательно движущуюся систему отсчёта, связанную с клином. В этой системе отсчёта относительное ускорение шарика будет направлено вдоль наклонной поверхности клина. Поскольку в момент отрыва шарика от клина все действующие на клин силы вертикальны, его ускорение равно нулю. Это означает, что в лабораторной системе отсчёта ускорение шарика тоже будет направлено вдоль поверхности клина.

Так как стержень нерастяжимый, движение шарика представляет собой движение по окружности радиусом \(L\). Найдём тангенциальную \(a_\tau\) и нормальную \(a_n\) компоненты ускорения шарика. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось. Так как по условию в рассматриваемый момент шарик отрывается от поверхности клина, на него действует единственная вертикальная сила — сила тяжести. Исходя из этого, получаем: \(ma_\tau = mg \Rightarrow a_\tau = g\). Для нахождения нормальной компоненты ускорения воспользуемся формулой центростремительного ускорения: \[a_n = \frac{u^2}{L}.\]

Далее рассмотрим три возможных способа определения скорости шарика \(u\) в момент отрыва.

Первый способ. Запишем уравнение кинематической связи для проекций ускорений на нормаль к наклонной поверхности клина: \[0 = a_\tau\cos\alpha - a_n\sin\alpha \;\Rightarrow\; a_\tau = a_n\operatorname{tg}\alpha \;\Rightarrow\; g = \frac{u^2}{L}\operatorname{tg}\alpha \;\Rightarrow\; u^2 = gL\operatorname{ctg}\alpha.\]

Второй способ. Второй закон Ньютона для шарика в момент отрыва: \[m\vec a = \vec T + m\vec g.\] Как было доказано ранее, в момент отрыва ускорение шарика в лабораторной системе отсчёта направлено вдоль поверхности клина. Спроецируем второй закон Ньютона на ось перпендикулярную наклонной поверхности клина и получим: \[T\sin\alpha = mg\cos\alpha.\] В этот момент шарик движется по окружности с центром в точке \(O\) и радиусом \(L\), значит \(T = ma_n\). Следовательно: \[\frac{u^2}{L}\sin\alpha = g\cos\alpha \;\Rightarrow\; g = \frac{u^2}{L}\operatorname{tg}\alpha \;\Rightarrow\; u^2 = gL\operatorname{ctg}\alpha.\]

Третий способ. Запишем уравнение кинематической связи для скоростей шарика и клина при скольжении без отрыва в произвольный момент времени: \[u\cos\varphi = v\sin\alpha,\] где \(\varphi\) — угол между стержнем и наклонной плоскостью клина. Возьмём производную по времени от кинематической связи: \[a_\tau\cos\varphi - u\sin\varphi\cdot\omega = a_\text{к}\sin\alpha.\] В рассматриваемый момент \(a_\text{к} = 0\), так как все силы действующие на клин вертикальны, и \(\varphi = \alpha\). Тогда: \[a_\tau = u\omega\operatorname{tg}\alpha = a_n\operatorname{tg}\alpha = \frac{u^2\operatorname{tg}\alpha}{L} \;\Rightarrow\; g = \frac{u^2\operatorname{tg}\alpha}{L} \;\Rightarrow\; u^2 = gL\operatorname{ctg}\alpha.\]

С учётом того, что \(u = v\operatorname{tg}\alpha\), окончательно получим: \[v = \sqrt{\frac{gL}{\operatorname{tg}^3\alpha}} = \sqrt{gL\operatorname{ctg}^3\alpha}.\]

Нить связывает перемещения шайбы и клина: найдите, как проекции ускорения шайбы выражаются через ускорение клина. Затем удобно записать закон сохранения энергии или уравнения движения клина и шайбы.

\(A = \dfrac{2g\sin\alpha}{n + 5 - 4\cos\alpha} = \dfrac{6}{49}\,g \approx 1{,}2\) м/с\(^2\).

В начальный момент скорости нулевые, поэтому ускорение шарика перпендикулярно нити. Свяжите ускорение шарика с ускорением клина условием, что шарик остаётся на поверхности клина.

\(a = \dfrac{mg\sin^2\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}\);  \(A = \dfrac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}\).