Лодка

Умножьте уравнение второго закона Ньютона на \(dt\) и просуммируйте малые приращения: сила трения даёт приращение координаты, а не времени. Для последнего пункта сравните значение сохраняющейся величины до и после всех прыжков.

1) \(k=\alpha/m\);  2) \(v+\dfrac Mm\,u(t)+\dfrac\alpha m\,x=\text{Const}\);  3) \(s=\dfrac M\alpha\,(u_1+u_2)\).

1. Из второго закона Ньютона \(m\dfrac{dv}{dt}+\alpha\dfrac{dx}{dt}=0\). Умножая это уравнение на \(dt\), получаем \(dv+\dfrac\alpha m\,dx=0\). Интегрируя (то есть суммируя все малые приращения \(dx\) и \(dv\)), приходим к \[v+\frac\alpha m\,x=\text{Const},\] то есть \(k=\dfrac\alpha m\).

2. Поступаем так же, как раньше, но нужно добавить силу взаимодействия между лодкой и мальчиком: \[m\frac{dv}{dt}+\alpha\frac{dx}{dt}=M\frac{du}{dt}.\] [Заметим, что правая часть этого уравнения — сила взаимодействия, поэтому она обращается в нуль, если мальчик покидает лодку. Следовательно, чтобы уравнение оставалось верным и после того, как мальчик покинул лодку в момент времени \(t=t_*\), нужно считать, что \(u(t)\equiv u(t_*)\) при \(t>t_*\).] Аналогично предыдущему пункту получаем \[v+\frac Mm\,u(t)+\frac\alpha m\,x=\text{Const}.\]

3. Используем закон сохранения из предыдущего пункта и сравним значение его левой части непосредственно перед тем, как мальчик приземлится в лодку, с её значением спустя очень большое время. Учитывая, что нужно подставить \(u(t\to\infty)=-u_2\) (см. выше), получаем \[0+\frac Mm\,u_1+0=0-\frac Mm\,u_2+\frac\alpha m\,s.\] Итак, \[s=\frac M\alpha\,(u_1+u_2),\] то есть результат не зависит от того, сколько времени мальчик провёл в лодке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.