Стратостат

Запишите разность давлений на высотах \(z\) и \(z+dz\) как вес слоя и выразите плотность из уравнения состояния. Во втором пункте давление гелия внутри равно давлению воздуха снаружи, а \(pV=\text{const}\).

1) \(\alpha=\dfrac{\mu g}{RT}\);  2) \(h=\dfrac{RT}{\mu_a g}\ln\dfrac1\beta\approx17\text{ км}\).

1. Рассмотрим разность давлений на высотах \(z+dz\) и \(z\): \(dp=-\rho g\,dz\) (разность обусловлена просто весом слоя \(dz\)). Плотность найдём из уравнения состояния идеального газа: \(pV=\dfrac m\mu RT\), \(\rho=\dfrac mV=\dfrac{\mu p}{RT}\). Поэтому \(\dfrac1p\dfrac{dp}{dz}=-\dfrac{\mu g}{RT}\). Заметим, что \(\dfrac1p\dfrac{dp}{dz}\) — производная логарифма: \(\dfrac1p\dfrac{dp}{dz}=\dfrac{d\ln p(z)}{dz}\). Поэтому \(\ln(p/p_0)=-\alpha z\), \(p=p_0e^{-\alpha z}\), где \(\alpha=\dfrac{\mu g}{RT}\).

   Можно также вывести этот закон из распределения Больцмана для концентрации частиц \(n=n_0e^{-U/kT}\), где \(U\) — потенциальная энергия молекулы. Учитывая, что при постоянной температуре давление пропорционально плотности, получаем \(p=p_0e^{-U/kT}\). Подставляя \(U=mgz=\dfrac\mu{N_A}\,gz\) и \(R=kN_A\), получаем тот же результат, что и выше.

2. Ясно, что давления внутри стратостата и снаружи равны и зависят от высоты как \(p=p_0e^{-\alpha z}\), где \(\alpha=\dfrac{\mu_a g}{RT}\). Для гелия внутри мешка \(pV=\text{const}\). Пусть объём стратостата равен \(V_S\), тогда \(p_0\beta V_S=pV_S\), где \(p\) — давление на высоте, на которой гелий заполнил весь объём стратостата. Поскольку \(p=\beta p_0\), получаем \(\dfrac{\mu_a g}{RT}\,h=-\ln\beta\), \[h=\frac{RT}{\mu_a g}\ln\frac1\beta,\qquad h=17\text{ км}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.